Аксиоматика Гильберта III, IV, V группы

III.Аксиомы конгруэнтности:

1)если дан отрезок АВ и в этой же плоскости или в другой луч А1М,то существует такая точка В,принадл.полупрямой А1М, что АВ конгруэнтно А1В1.

2)если два отрезка конгруэнтны 3-му,то они конгруэнтны между собой.Отношение конгруэнтности явл. отношением эквивалентности на мн-ве всех отрезков.

3)АВ и ВС,А’B’ и B’C’ на прямой,отрезки без внутренних точек.Если АВ конгруэнтно А’B’,BC конгруэнтно B’C’ à АС конгруэнтно A’C’.

4) Пусть дан ے(h,k) в плоскости α, а также определённая относительно прямой a ' полуплоскость плоскости α', пусть h' – луч прямой a ', выходящий из точки O'. Тогда на плоскости α' существует один и только один луч k', такой, что ے(h,k) конгруэнтен ے(h',k') и при этом все внутренние точки ے(h',k') лежат в данной полуплоскости α', это записывается символически: ے(h,k)≡ے(h',k'). Всегда ے(h,k)≡ے(h,k) и ے(h,k)≡ے(k,h).

Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.

5) Если для двух треугольников ABC и A'B'C' имеют место конгруэнции: AB≡A'B', AC≡A'C', ےBAC≡ےB'A'C', то ےABC≡ےA'B'C'

IV. Аксиома параллельности.

Дана прямая b и точка В на прямой,тогда в плоскости,содержащей эту прямуюи точку,существует не более одной прямой,проходящей через В и не пересекающей b.

Эта аксиома вместе со следствием о существовании || прямых означает,что через т-ку В не принадлежащую b проходит одна и только одна прямая b’,не пересекающая b.

V. Аксиома непрерывности:

1) Постулат Архимеда. Пусть AB и CD – два произвольных отрезка и пусть на луче AB с вершиной A взяты точки A₁, A₂, A₃,…, расположенные так, что A₁ лежит между A и A₂, точка A₂ лежит между A₁ и A₃ и т. д., причём отрезки AA₁, A₁A₂, A₂A₃,… конгруэнтны отрезку CD. Тогда существует такой номер n, что точка B лежит между A и A_n.

2) Принцип вложенных отрезков Кантора. Пусть на произвольной прямой a дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃,…, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка, лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой a существует одна и только одна точка M, лежащая внутри всех отрезков A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃,…