Аксиоматика Гильберта, I и II группы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

I. Аксиоматика принадлежности

II. Аксиомы порядка

III. Аксиомы конгруэнтности

IV. Аксиома параллельности

V. Аксиомы непрерывности

VI.

I. аксиомы принадлежности:

1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.

8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

1. аксиомы порядка:

1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.

3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

4. Аксиома Паша

Если прямая не проходит не через одну из сторон, вершин и пересекает одну сторону, то она пересечёт только одну сторону.

Док-во: Пусть Р-точка пересечения АВ и L. Q-BC и L по аксеоме II₃ из трёх точек P, Q,R- одна лежит между двумя другими. Q “между” и P и Q. Треугольник APR, прямая m=BC пересекает сторону PR в точке Q, а две другие стороны [АР] и [AR] – не пересекают, т.к. она пересекает эти стороны в точках. Получаем противоречие.