Фундаментальная система решений

Справочный материал.

Система линейных уравнений называется однородной, если во всех её уравнениях свободные элементы равны нулю:

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение

Теорема. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа её неизвестных.

Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы уравнений является линейной комбинацией решений , то есть общее решение системы линейных однородных уравнений имеет вид: , где – произвольные числа.

Теорема. Если ранг r системы линейных однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n−r решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений системы уравнений поочерёдно заменяют n−r свободных неизвестных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n−r, например, единичной матрицы.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений:

Решение.

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования.

1) Поменяем местами первую и третью строки:

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (−3); прибавим к третьей строке первую, умноженную на (−4); прибавим к четвёртой строке первую, умноженную на (−2); прибавим к пятой строке первую, умноженную на (−3):

3) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (−1); прибавим к четвёртой строке вторую, умноженную на (−1); прибавим к пятой строке вторую, умноженную на (−1):

4) Вычеркнем нулевые строки:

5) Умножим вторую строку на (−1):

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен 3, поэтому 3 переменные объявляем основными, остальные две – свободными. В качестве основных переменных можно взять , так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля: . Остальные переменные объявляем свободными. На основе ступенчатой матрицы запишем систему уравнений:

Для получения фундаментальной системы решений будем заменять свободные переменные элементами строк единичной матрицы второго порядка.

1) Пусть , тогда система принимает вид:

В результате получаем решение . Умножив это решение на 4, получаем .

2) Пусть , тогда система принимает вид:

В результате получаем решение . Умножив это решение на 11, получаем .

Ответ: , .

Задание 24. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н. Ш. Кремер и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7-е изд., испр.– Москва: АСТ: Мир и Образование, 2014.– 816 с.: ил.

3. Красс, М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учеб. / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов – М.: Дело, 2000. – 688 с.

4. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред Н. Ш. Кременра. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2013.– 909 с.– Серия: Бакалавр. Углублённый курс.

5. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник. 17-е изд., стер. / А. Г. Курош – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 432 с.

6. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

7. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др.; Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.

8. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч.1 / Д. Т. Письменный. – 12-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2013.– 288 с.

9. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре. Учебное пособие. / И. В. Проскуряков. – 13-е изд., стер.– СПб.: Изд-во «Лань», 2010 – 480 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).