Базис векторного пространства

Справочный материал.

Векторы линейно независимы, если существуют такие числа равные одновременно нулю, что

.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нём существуют n линейно независимых векторов, а любые из векторов являются линейно зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n -мерного пространства называется базисом.

Пример. Выяснить, образуют ли базис трёхмерного линейного пространства векторы , , .

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Воспользуемся формулой:

.

Получаем:

,

что можно записать в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений:

Полученная однородная система будет иметь только нулевое решение (), если определитель системы не равен нулю:

.

Таким образом, система имеет только нулевое решение, поэтому векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

Ответ: да.

Задание 17. Выяснить, образуют ли базис трёхмерного линейного пространства векторы .