Вычисление площадей плоских фигур

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть представлена в виде суммы или разности площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси 0x или 0y.

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой имеет вид y=f(x), осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где a£x£b, f(x)³0, находится по формуле:

_b У

S=òf(x) dx y=f(x)

^a

S

^О

a b Х

2. В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=a и х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле

_b y

S=ò½f(x)½ dx a b x

^{a О}

S

3. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что c£y£d, x=j(x), то площадь плоской фигуры находится по формуле

_d y

S=òj(y) dy х=j(y)

^c d

S

c x

4. Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) и прямыми x=a и x=b, где a £ x £ b и f₁(x)£ f₂(x), то её площадь находится по формуле

_b У y=f₂(x)

S=ò[f₂(x)-f₁(x)] dx

^a S

y=f₁(x)

a b Х

5. Если кривая, заданная уравнением y=f(x) на отрезке [a,b], пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ и располагается между этими точками под осью Ох, то вся площадь фигуры, заключённой между кривой, соответствующей этому уравнению, осью Ох и прямыми x=a и x=b,выразится так:

У

_{x1 x2 b b}

S = òf(x)dx + ò½f(x)½dx + òf(x)dx = ò½f(x)½dx

^{a x1 x2 a}

О x₁ x₂ Х

a b

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y=x²+1, прямыми x=-1, x=2

Решение: Построим данную фигуру. Площадь фигуры ABCD находим по формуле

_b У

S=òf(x) dx, где f(x)=x²+1, a=-1, b=2.

^a

Следовательно, B C

_{2 2}

S=ò(x²+1) dx=( +x)½= ( +2)-(- -1)= 6 (кв.ед.)

^{-1 -1}

А D

-1 2 Х

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-6x+9 и y=x-1

Решение. Данная фигура ограниченна параболой y=x²-6x+9 и прямой y=x-1.

Определим точки пересечения этих линий, решив систему уравнений

Находим

x²-6x+9=x-1

x²-7x+10=0 Þ x₁=5, x₂=2, y₁=4, y₂=1

Построим данную фигуру.

Используем для нахождения искомой площади

формулу

_b 2 5 x

S=ò[f₂(x)-f₁(x)] dx

^a

где f₁(x)=x²-6x+9, f₂(x)=x-1, a=2, b=5.

_{5 5}

Тогда S=ò(x-1-x²+6x-9) dx=(- + x²-10x)½=- +7 -

^{2 2}

- 50+ +20=4,5 (кв. ед.).

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х=Öу, х=0, у=4.

Решение: Построим заданные линии.

Y

Так как полученная криволинейная трапеция прилежит к

оси Оу, то применим формулу

_d _

4 S=òj(y) dy, где j(y)=Öy, c=0, d=4

S= Öy dx= ½=

0 Х

¹

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х², у=х-2, у=0

Решение: Построим заданные линии.

Y Из чертежа видно, что искомая площадь S

криволинейного треугольника OAB может

0 1 2 x рассматриваться как площадь над кривой OAB на

C B отрезке [0,2].Однако указанная кривая задаётся не

одним уравнением.

A Поэтому разобъём криволинейный DOAB на

части, проецируя т.А на ось Ох.

у=-х² Тогда S=S_OAC+S_CAB. Абсциссы точек О,А,В

задают пределы интегрирования.

у=х-2 _{1 1}

S_OAC=ò½-x²½ dx=½- ½½=½- ½=

⁰₂ ⁰ ₂

S_CAB=ò½x-2½dx=½x²/2-2x½½=½2-4- +2½=

^{1 1}

S= (кв. ед.)