Айнымалыны алмастыру және бөліктеп интегралдау әдістері

Берілген интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдар кестесінің қорына байланысты бірнеше түрге бөлінеді: тікелей интегралдау, айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау; бөліктеп интегралдау. Осы тәсілдердің әрқайсысына жеке – жеке тоқталайық.

а) Тікелей интегралдау.

Көптеген функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттер мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Тікелей интегралдау тәсіліне бірнеше мысалдар келтірейік.

б) айнымалыны алмастыру әдісі.

Көп жағдайларда интегралдағы айнымалысының орнына басқа айнымалысын енгізіп, берілген

(1)

интегралын тікелей интегралданатын жаңа интегралдарға немесе кестелік интегралдардың біріне оңай келтіруге болады. Бұл әдісті айнымалыларды ауыстыру (немесе айнымалыны алмастыру) әдісі деп атайды.

Теорема. Анықталмаған интегралындағы айнымалысының орнына

(2)

формуласы бойынша жаңа айнымалысын енгізейік (мұндағы аргументінің бірсарынды, үзіліссіз және дифференциалданатын функциясы).Сонда берілген анықталмаған интеграл үшін

(3)

теңдігі орындалады.

Айнымалыларды ауыстыру әдісін ұтымды қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты. Яғни интегралдың берілуіне қарап, ауыстыру формуласын таңдап алу керек. Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісіне бірнеше мысалдар келтірейік.

Дифференциалдары үзіліссіз және функциялары берілсін.

Осы екі функция көбейтіндісінің дифференциалы

болады.

Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ,

(4)

(4) формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің ( және ) көбейтіндісі түрінде қарастыру керек. Сондықтан бөліктеп интегралдау әдісінің ұтымдылығы осы және көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты.

Көп жағдайларда бөліктеп интегралдау әдісі бойынша және көбейткіштерін таңдап оларда төмендегі практикалық мәні бар интегралдарды ескерген жөн:

1. Егер , , болса, онда функциясын , ал қалған , , , өрнектерін деп алу керек.

2. Егер , болса, онда , функцияларын , ал өрнегін десек, берілген интегралдар оңай интегралданады. Енді осы әдістің қолдануына мысалдар келтірейік.[kgl]

[gl]Тақырып 8. Анықталған интеграл.[:]

мақсаты: Анықталған интеграл туралы ұғым, анықталған интегралдың негізгі қасиеттері, анықталған интегралдың геометриялық мағынасы, Ньютон-Лейбниц формуласы, анықталған интегралды есептеу әдістері және меншіксіз интегралдар ұғымдарымен танысу.

кілт сөздер: Интеграл,Ньютон-Лейбниц формуласы.