Көп айнымалылы функция. Дербес туындылар

Толық дифференциал.

.

Анықтама. Реттелген сандар жұбының жиыны берілсін. Егер әрбір сандар жұбына қандай да бір f ережесі бойынша х шамасының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда жиынында анықталған екі айнымалды функция берілді дейді де оны деп белгілейді .

жиыны функцияның анықталу аймағы (облысы) деп аталады.

Дербес туындылар.

функциясының нүктесіндегі бойынша дербес туындысы деп, дербес өсімшесінің Δх өсімшесіне қатынасының үмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да

символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен,

функциясының нүктесіндегі бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және символдарының біреуімен белгіленеді

Функцияның толық дифференциалы.

Анықтама. Егер функциясы (x; y) нүктесінде дифференциалданса, онда оның осы нүктедегі өсімшесінің сызықтық бас бөлігі функциясының толық дифференциалы деп аталады да немесе арқылы белгіленеді.

Мұндағы , тәуелсіз айнымалдар өсімшелерін пен тәуелсіз айнымалдарының дифференциалдары деп атайды, және оларды және арқылы белгілейді.Онда толық дифференциал келесі түрге ие болады:

және де

нүктесі функциясының анықталу облысының ішкі нүктесі болсын. Берілген нүктесіндегі айнымалысына сәйкес функцияның дербес өсімшесінің аргументтің өсімшесіне қатнасын қарастырамыз:

(1)

Анықтама. Егер (1) қатнасының болғандағы шегі бар болса, онда бұл шек функциясының нүктесіндегі аргументі бойынша дербес туындысы деп аталып, келесі символдардың біреуімен белгіленеді:

.

Сонымен, . (2)

Мысалы. .

Енді көп айнымалылы функцияның дифференциалдану ұғымына тоқталайық. функциясының нүктесіндегі аргументтердің өсімшелеріне сәйкес толық өсімшесі келесі өрнек екені белгілі:

.

Анықтама. функциясы берілген нүктесінде дифференциалданады деп аталады, егер оның осы нүктедегі толық өсімшесін келесі түрде жазуға болса

, (3)

мұндағы қандай бір -нен тәуелсіз сандар, ал функциялары , ,..., болғанда шексіз аз, нөлге тең болатын функциялар.

(3) шартын функцияның берілген нүктесінде дифференциалдану шарты деп атайды. Функция дифференциалдануының (3) шартын басқа түрде де жазуға болады. Ол үшін , ,..., болғанда шексіз аз болатын функциясын қарастырайық және бұл функция тек болғанда ғана нөлге айналатынын айта кетейік. (3) шартын келесі түрде жазуға болады:

. (4)

Келесі теорема орынды:

Теорема 1. Егер функциясы берілген нүктесінде дифференциалданса, онда осы нүктеде барлық аргументтер бойынша дербес туындылар бар және , мұндағы функцияның дифференциалдануының (3) немесе (4) шарттарынан алынады.

Келесі теорема дифференциалданатын және үзіліссіз көп айнымалылы функциялардың ара байланысын береді:

Теорема 2. Егер функциясы берілген нүктесінде дифференциалданса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз де болады.

Енді көп айнымалылы функцияның дифференциалдануының жеткілікті шартын анықтайық.

Теорема 3. Егер функциясының нүктесінің қандай бір маңайында барлық аргументтер бойынша дербес туындылары бар болса және осы дербес туындылардың барлығы нүктесінің өзінде үзіліссіз болса, онда берілген функция нүктесінде дифференциалданады.

Көп айнымалылы функцияның дифференциалы ұғымына тоқталайық.

Анықтама. нүктесінде дифференциалданатын функциясының дифференциалы деп осы функцияның нүктесіндегі өсімшесінің аргументтер өсімшелеріне қатысты бас сызықтық бөлігін айтамыз. Егер дифференциалданатын функцияның (3) жазылуындағы барлық коэффициенттері нөлге тең болса, онда функцияның нүктесіндегі дифференциалы нөлге тең деп саналады.

Сонымен, нүктесінде дифференциалданатын функциясының дифференциалы дегеніміз келесі өрнек екен:

.

Тәуелсіз айнымалысының дифференциалы ретінде кез-келген санды алуға болатындықтан осы айнымалының өсімшесін алып, теорема 1 бойынша функцияның дифференциалын келесі түрде жазуға болатынын көреміз:

.

Бұл жазу айнымалылары жаңа айнымалаларынан тәуелді жағдайда да сақталады. Бұл қасиет бірінші дифференциалдың инварианттылық қасиеті деп аталады. [kgl]

[gl]Тақырып 7. Анықталмаған интеграл.[:]

Мақсаты: Функцияның алғашқы бейнесі ұғымымен танысу, анықталмаған интеграл, анықталмаған интегралдың қасиеттері, интегралдау әдістерімен танысу.

Кілт сөздер: алғашқы бейне, интеграл, интегралдау әдістері.

Дәріс жоспары.

1. Алғашқы функция.

2. Анықталмаған интеграл және олардың қасиеттері, кестесі.

3. Айнымалыны алмастыру және бөліктеп интегралдау әдістері.