Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар, олардың қассиеттері

Анықтама. Егер функциясының немесе, ұмтылғандағы шектері нольге тең болса, яғни

теңдіктері орындалса, онда шексіз аз шама деп аталады.

Шексіз аз шаманың анықтамасын тілінде берейік.

Анықтама. Егер құнарсыз аз саны бойынша саны табылып

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х–тер үшін

теңсіздігі орындалса, онда функциясын ұмтылғанда шексіз аз шама деп атайды.

Анықтама. Егер құнарсыз аз саны бойынша S саны табылып

теңдігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін

теңсіздігі орындалса,онда функциясын ұмтылғанда шексіз аз шама деп атайды.

Шексіз аз шамалардың қасиеттері:

1. Сандары шектеулі шексіз аз шамалардың алгебралық қосындысы да, көбейтіндісі де шексіз аз шама.

2. Шектелген функцияның шексіз аз шамамен көбейтіндісі шексіз аз шама

3. Шексіз аз шаманы тиянақты нольден өзге шегі бар функцияға бөлгенде, бөлінді шексіз аз шама болады.

Анықтама. Егер алдын ала берілген санына сәйкес саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін

(Е саны жеткілікті үлкен сан), теңсіздігі орындалса, онда функциясын шексіз үлкен шама деп атайды.

функциясы шексіз үлкен шама болса,онда оны мына

шектік теңдікпен жазады.

Егер аргумент х ұмтылғанда функциясы шексіз үлкен шама болса, онда оны мына шектік теңдікпен жазады.

Шексіз үлкен шамалардың қасиеттеріне тоқталайық.

1. фукнциясы шексіз үлкен шама болсын, функциясының шегі бар болсын, яғни (b -тиянақты сан),

онда функциялардың көбейтіндісі шексіз үлкен шама болады.

2. функциясы шексіз үлкен шама болсын, функциясының шегі бар болсын, яғни ( - тиянақты сан), онда

ұмтылғанда шексіз үлкен шама болады.

3. - тиянақты сан, онда

яғни - шексіз үлкен шама.

4. Егер орындалса, онда олардың көбейтіндісі,

, -ге ұмтылғанда шексіз үлкен шама болады.

Теорема. Шексіз аз шаманың кері шамасы - үлкен шама, ал шексіз үлкен шаманың кері шамасы - аз шама болады.

Бізге және функциялары берілсін. Олардың аргументі х -ге ұмтылғандағы шектері берілген болсын, яғни

А және В тиянақты нақты сандар.

5. Үздіксіздік. 1-ші және 2-ші ретті үзілістер.

функциясы х₀ нүктесінде және оның қайсыбір маңайында анықталған делік. Осы х₀ нүктесінің сол маңайынан бір х нүктесін алайық. айырымын х аргументінің х₀ нүктесіндегі өсімшесі деп атайды және оны символымен белгілейді, яғни , мұндағы - теріс те, оң да болуы мүмкін. Дәл осылайша, айырымын функциясының х₀ нүктесіндегі өсімшесі деп атайды және оны символымен белгілейді, яғни немесе екенін ескерсек, онда болады (1 сурет).

Анықтама 1. Егер функциясы х₀ нүктесінде, оның қайсыбір маңайында анықталған болса және аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе

онда функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер аргумент және функция өсімшелерінің анықтамаларын ескерсек, онда функция үзіліссіздігін басқаша анықтауға болады. Сонғы екі формуладан

немесе ал мұндағы . Бұдан болғанда және .

Жоғарыда берілген анықтаманы қысқаша былай айтуға болады:

Анықтама 2. Егер , яғни функцияның нүктедегі шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, онда функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Анықтама 3. Егер болғанда функциясының х₀ нүктесіндегі оң жақ (сол жақ) шегі функцияның х₀ нүктесіндегі мәніне тең болса, онда функциясы х₀ нүктесінде оң жақтан (сол жақтан) үзіліссіз деп аталады.

.

Бұдан, функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда оның сол нүктедегі біржақты шектері мен х₀ нүктесіндегі мәні өзара тең болады, яғни

.

Анықтама 4. Егер функциясы х жиынының кез келген нүктесіндегі үзіліссіз болса, онда оны осы х жиынында (аралықта) үзіліссіз функция деп атайды.

Барлық негізгі элементарлық функциялардың өздерінің анықталу облыстарында үзіліссіз екендігін дәлелдеуге болады.

Анықтама. Егер нүктесі функциясының үзіліссіздік нүктесі болмаса, онда оны функциясының үзіліс нүктесі деп атайды.

Жалпы үзіліс нүктелерін екі текке бөледі.

Егер функциясының және жағдайларындағы сол және оң жақ шектері бар және тиянақты сандар болса, яғни

бірақ олар бір-бірімен тең болмаса онда х₀ үзіліс нүктесін функциянын бірінші тектес үзіліс нүктесі деп атайды.

Егер функциясының және жағдайындағы сол, оң жақ шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке ұмтылса немесе жоқ болса, онда х₀ үзіліс нүктесін функцияның екінші тектес нүктесі деп атайды.[kgl]

[gl] 6-Тақырып. Туынды және дифференциал.[:]

Мақсаты: Элементар функциялардың туындысы, функцияның үздіксіздігі мен дифференциалдануы арасындағы байланыс, күрделі және кері фукциялардың туындыларын табуды үйрену.

Кілт сөздер: туынды, дифференциал, функция.