Введение. Распределением c2 с k степенями свободы называется распре­деление суммы квадратов k независимых случайных величин

Распределением c² с k степенями свободы называется распре­деление суммы квадратов k независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с математиче­ским ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Это распределение характеризуется плотностью

где k – число степеней свободы (df), а Г(η) – гамма – функция вида

Впервые c² -распределение было рассмотрено Р. Хельмертом (1876) и К. Пирсоном (1900).

Особую известность c² -распределение получило из-за своей тесной связи с c² -критерием, получившим также название крите­рия согласия Пирсона. Критерий c² широко применяется для проверки различных статистических гипотез, ос­нованных на c² -распределении. Основное преимущество c² -критерия — его гибкость. Этот критерий можно применять для проверки допущения о любом распределении, даже не зная параметров распределения. Основ­ной его недостаток — нечувствительность к обнаружению адекват­ной модели, когда число наблюдений невелико.

Часто критерий c² используется для проверки гипотезы о характере распределения случайной величины на основе статистических данных. Для этого исследователь, опираясь на свой опыт и имеющуюся информацию, выдвигает гипотезу о законе распределения случайной величины. Используя статистические данные, он должен подтвердить или отвергнуть выдвинутую гипотезу. Эту проверку можно выполнить с помощью критерия c².

Последовательность расчетов такова:

1. Строится вариационный ряд наблюдаемых значений признака.

2. Вариационный ряд делится на k интервалов (групп).

3. Определяется число наблюдений, попавших в каждый интервал f_jэ (эмпирическая частота попадания), j – номер интервала.

4. Определяется теоретическая частота попадания f_jт исходя из проверяемого закона распределения.

5. Рассчитывается статистика c²

c^{2 =} å[ (f_jэ - f_jт)²/f_jт]

6. Поскольку критерий c² определяет меру расхождения между теоретическими значениями частот и эмпирическими данными, то необходимо проверить, случайны или закономерны эти расхождения. Если они случайны, то предположение о характере распределения можно принять.

Для этого определяется критическое значение статистики c² -

Это значение определяется как квантиль уровня α c² – распределения с числом степеней свободы df = k – m -1, где k – число групп, m – число независимых параметров закона распределения. Для нормального закона m=2.

Если значение c² < , то гипотеза о том, что расхождения между теоретическими значениями частот и эмпирическими данными случайны, принимается. Это означает, что наблюдаемые значения признака согласуются с предполагаемым законом распределения.

Для проверки предположения о том, что наблюдаемые значения признака подчиняются нормальному закону распределения, выполняем следующие шаги.

1.Определяем среднее значение для каждого интервала , j – номер интервала.

2.Вычисляем среднее значение ряда по формуле .

3.Вычисляем выборочную дисперсию

и стандартное отклонение s = √s²

4.Вычисляем значения функции плотности нормального распределения для каждого интервала по формуле f() = НОРМРАСП().

5.Расчитываются теоретические частоты нормального распределения по формуле f_jт = f()*D_j*åf_jэ, где Δ – длина интервала.

6.Расчитывается значение критерия c²

7.Вычисляется значение критическое значение c помощью функции ХИ2ОБР. Для нормального распределения число степеней свободы df = k – 3.