Введение новых понятий с помощью производной; физическая интерпретация производной

С помощью производной можно вводить новые понятия.

Пример 1. Пусть f (t) – функция, которая каждому моменту времени t ставит в соответствие длину пути, пройденного телом при прямолинейном движении от начала движения до данного момента времени t. Тогда

есть средняя скорость за промежуток . Мгновенной скоростью прямолинейного движения тела в момент времени t ₀ называется .

Подобным образом производная используется для вычисления скорости протекания различных процессов физического, химического и другого характера.

Пример 2. Рассмотрим стержень – тело, площадь поперечного сечения которого мала по сравнению с длиной. Средней линейной плотностью данного участка стержня называется отношение массы данного участка стержня к длине этого участка.

Обозначим через х – длину стержня от его начала А до некоторой точки В¢, f (х) – массу участка АВ¢. Тогда – средняя линейная плотность участка ВВ¢, а называется линейной плотностью стержня в точке В.