Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Граф G называется однородным k-связным, если, его вершинная связность æ(G) = k и все степени вершин di = k. Такие графы обладают наибольшей связностью, а следовательно и живучестью при прочих равных условиях.
В практике связи встречается большое разнообразие структур, которые выделяются по типам, например, древовидные, радиально-узловые, кольцевые, сотовые, решетчатые, алмазные, k-связные, полносвязные и т.д. Каждая из этих структур имеет свои достоинства и недостатки и в большей или меньшей степени приспособлена для выполнения возложенных функций.
Вместе с тем сети связи должны быть приспособлены действовать в условиях активного деструктивного воздействия и обладать наибольшей устойчивостью (живучестью), которая в значительной степени зависит от характеристик связности графа, отображающего эту сеть.
Поскольку свойства связности для сетей связи является определяющим то представляет интерес, в какой мере связность у различных структур при заданных m и n отличается от оптимальной, получаемой по рассмотренным алгоритмам, реализующим максимальную однородность графов.
Для определения степени неоднородности графа введем меру, аналогичную дисперсии при рассмотрении случайных величин:
(1)
Где: .
Рис.5. Пример неоднородного (G1) и однородного(G2) 3-х-связного графов.
Например, для графовG1 и G2 на рис.2.5 с m=9 и n=6 у графа G1dcp = 3; D = 1,67; связность λ=1; для графа у графа G2di = dcp = 3; D = 0; λ=3.
Для типовых и преобразованных по алгоритму синтеза оптимальных структур сравнительные данные приведены в таблице. В числителе для типовых, в знаменателе – для преобразованных с таким же числом вершин n и ребер m.
Таблица 1.
Тип структуры | Количество вершин n | Количество ребер m | dср | D | λ(G) | Количество остовных деревьев Т | Количество независимых остовных деревьев Тн | |
Древовидная | ||||||||
Радиально-узловая | ||||||||
Алмазная | ||||||||
Решетка | ||||||||
Сотовая |
В таблице в качестве показателей связности использовались: реберная связность λ(G), количество независимых остовных деревьев Тн, количество остовных деревьев Т.
Количество независимых остовных деревьев определяется как Тн=m/(n-1) и изменяется от 1 до n/2, количество остовных деревьев изменяется от 1 до достаточно широких пределов и определяется по известной методике, реберная связность изменяется в пределах от 1 до n-1 для полносвязного графа.
Как видно из таблицы, при переходе от типовых структур к структурам, синтезированным по оптимальным алгоритмам такие показатели, как количество независимых остовных деревьев и реберная связность не изменяются, за исключением λ(G) для алмазной структуры. Изменяются два показателя- количество остовных деревьев и мера неоднородности, т.е. только они являются чувствительными к изменению структуры, однако вычисление количества остовных деревьев является достаточно громоздкой процедурой, а вычисление дисперсии- простой. При этом увеличение числа остовных деревьев соответствует уменьшению дисперсии. В связи с отмеченными свойствами показателей возникает вопрос об условиях применения того или иного показателя. Кроме того, поскольку желательно получить общие рекомендации для произвольных структур, то необходимо, чтобы число вершин и ребер у всех графов было одинаковым, а менялась только степень неоднородности. Это позволяет глубоко исследовать зависимость связности сетей от степени их неоднородности.
Задача генерирования графов с различной степенью неоднородности заключается в разбиении числа 2m на суммы из n членов, каждый из которых равен степени i-ой вершины di(i=1,2…n) при этом dimax ≤n-1, поскольку граф простой, а dimin ≥1, поскольку граф связен.
Как отмечалось ранее последовательность П={d1, d2,..,dn } во- первых должна быть графической, во- вторых упорядочена так, чтобы
n-1≥d1≥d2…..≥dn≥1 (1)
Возьмем в качестве примера граф, у которого число вершин n=12, число ребер m=36.
Наибольшим разнообразием обладает множество, в котором наибольшее число членов отличаются друг от друга. В нашем примере n членов могут принимать значение от 1 до n-1, стало быть два члена одинаковы и находятся в средине вариационного ряда (1)
Наименьшим разнообразием обладает последовательность, у которой все степени равны друг другу:
diср=dcр=2m/n=const (2)
Уменьшение разнообразия неоднородности производится так, чтобы уменьшалось отличие степеней от среднего значения.
Наибольшим отличием обладают крайние члены вариационного ряда (1). Поэтому суть алгоритма заключается в добавлении единицы к минимальной степени и вычитание единицы из максимальной до тех пор, пока не будет достигнуто равенство dimin= dimax= dcр.
Перечень последовательностей Пi для n=12 и m=36 приведен в таблице. Каждая из последовательностей проверяется на графичность, после чего по этой последовательности строится граф по одному из приведенных ранее алгоритмов ℓ-процедуры.
Таблица 2.
№ Пi | Степени вершин | Характеристики Степени Неоднородности | Верхняя граница количества вариантов ф(2.8) | Количество вариантов с учетом особенностей алгоритма | ||||||||||||
Di | количество остовов | N | ||||||||||||||
9,17 | ||||||||||||||||
7,7 | ||||||||||||||||
6,5 | ||||||||||||||||
5,3 | ||||||||||||||||
4,5 | ||||||||||||||||
3,67 | ||||||||||||||||
2,83 | ||||||||||||||||
2,33 | ||||||||||||||||
1,83 | ||||||||||||||||
4 | 1,33 | |||||||||||||||
0,833 | ||||||||||||||||
0,666 | ||||||||||||||||
0,5 | ||||||||||||||||
0,33 | ||||||||||||||||
0,166 | ||||||||||||||||
Пошаговое выполнение ℓ-процедуры с максимальным ведущим элементам для последовательности П(1)= 11, 10, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1 приведено в таблице 2, а примеры построения по такой же процедуре графов для последовательностей Пi для i=1,7,8 и 16 приведены на рис.6.
I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AGimpLjDAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET0trAjEQvhf8D2GEXkSzeqi6GkVLFXso xdd92Iy7q5tJ2ERd/30jCL3Nx/ec6bwxlbhR7UvLCvq9BARxZnXJuYLDftUdgfABWWNlmRQ8yMN8 1nqbYqrtnbd024VcxBD2KSooQnCplD4ryKDvWUccuZOtDYYI61zqGu8x3FRykCQf0mDJsaFAR58F ZZfd1Sj4TvbX9fh3/HVe//jV8ez6HbeslHpvN4sJiEBN+Be/3Bsd5w8H8HwmXiBnfwAAAP//AwBQ SwECLQAUAAYACAAAACEABKs5XgABAADmAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlw ZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAIwxik1AAAAJMBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAADEBAABfcmVs cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAASAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv cGljdHVyZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAaKakuMMAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACf AgAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9wAAAI8DAAAAAA== ">
i=1 i=16
i=7 i=8
Рис.6. Графы последовательностей Пi i=1,7,8 и 16
Поскольку при построении графов на каждом шаге возможны варианты в выборе последующих вершин, то в таблице приведено общее теоретическое число вариантов возможных перестановок вершин с заданными степенями и реальное число вариантов с учетом особенностей алгоритма построения и ограничений на графичность последовательностей.
Для каждой из конкретных реализаций графы по последовательностям Пii=1,16 вычислены такие показатели связности как число остовных деревьев и мера неоднородности.
Следует заметить, что все рассматриваемые до сих пор графы являются детерминированными, точно также как и показатели: - число остовных деревьев и мера неоднородности также использовались для детерминированных графов. Применение меры неоднородности для случайных графов не вызывает затруднений- более того эта мера, как указывалось ранее, является аналогом дисперсии при описании случайных величин. Подсчет числа остовных деревьев возможен только для конкретных реализаций и эту меру можно обобщать на случай стохастических графов путем усреднения по реализациям.
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 1286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!