Моделирование векторных случайных величин

Рассмотрим моделирование непрерывной векторной СВ Ее полное описание задается совместной ПРВ , где T – символтранспонирования.

Стандартный метод моделирования векторных СВ основан на представлении

w (x) в виде произведения

частной (маргинальной) ПРВ величины ξ1и условных ПРВ ξ k при условии,что . Из формулы (17) следует, что вектор ξ, можетмоделироваться покомпонентно: сначала величина ξ1с ПРВ ,далее - ξ2по ПРВ , потом - ξ3как величина с ПРВ и т. д. Последней моделируется m -я компонента ξ m,имеющая ПРВ . Стандартныйметод требуетопределенной вычислительной работы, связанной с нахождением условных ичастных ПРВкомпонент. После вычисления ПРВ каждая компонентамоделируется как скалярная величина методами, изложенными выше.

Рассмотрим подробнее процесс моделирования многомерногонормального распределения. Случайный вектор имеетневырожденное m -мерное нормальное распределение, если его ПРВ имеет вид

где µ =(µ1,...,µ m) T - математическое ожидание ξ; R=[ρ_ij]- заданная симметрическая положительно определенная m× m -матрица(x-µ) TR -1(x - µ) - квадратичная форма переменных x− µ с матрицей B = R -1. Матрица является ковариационной матрицей вектора ξ; обратная ей матрица B часто называется матрицей точности. Распределение (2.18) полностью описывается двумя параметрами: вектором µ и матрицей R. Далее используется краткое обозначение ξ~ N(µ, R).

Если математическое ожидание равно нулю, а корреляционная матрица R равна единичной матрице I, т. е. ξ~ N( 0 ,I), то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты ξ равными независимым реализациям СВξ~ N(0,1).

В общем случае распределение (18) моделируется с помощью линейного преобразования x = A x + µ, x ~ N (0, I). Здесь m× m -матрица A=[a_ij] определяется разложением ковариационной матрицы R в произведение двух треугольных матриц

R = AAT

В уравнении (19) будем считать A нижней треугольной матрицей:

В этом случае явный вид коэффициентов ij a определяют следующие уравнения:

a 1= r11, ak 1=r k 1 a 1, k = 2,..., m, (20)

å

l

r k 1- akjaij

a

akl = j =1, l = 2,..., k -1, (21) ll

å

k -1

akk = r kk - akj. (22) j =1

После определения a₁₁ вычисление элементов A осуществляется пo строкам: сначала по формуле (20) вычисляется первый элемент ak 1k-й строки, далее по формуле (21) находятся последующие элементы ak 2,..., ak, k -1. Диагональный элемент вычисляется с помощью уравнения (22). После вычисления диагонального элемента осуществляется переход на следующую, (k +1)-юстроку.

Плохая обусловленность (вырожденность) матрицы A требует проверки на каждой строке условия akk < e*, k = 2,..., m, означающего линейную зависимость k-й компоненты вектора ξ. Здесь ε_* - малое число. Если это условие выполняется, то нужно положить akk = 0, длина k-й строки L(k) совпадает с длиной предыдущей. Индекс l принимает значения 2,3,...,L(k) его предельное значение L (k) - переменно. Число L (k)является счетчиком числа линейно независимых элементов последовательности x₁,...,x_k. Присвоение L(k)последующего значения L (k +1)= L (k)+1осуществляется лишь при условии akk > e*. После расчета последней m-й строки значение L(m) равно рангу матрицы R.

2.5. Заключительные замечания

Существует довольно большое количество методов моделирования СВ. В данном разделе были изложены некоторые из них. При этом преследовалась цель привести примеры алгоритмов для моделирования СВ с распространенными законами распределения. Рассмотрим краткую сравнительную характеристику различных методов моделирования СВ и некоторые рекомендации для выбора того или иного подхода для решения конкретных задач.

В тех случаях, когда требуется высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, целесообразно использовать методы моделирования, не обладающие методической погрешностью. К ним относятся описанные в пп. 2.2, 2.3 алгоритмы получения СВ (5), (6), (15), (16). Погрешностью таких алгоритмов часто можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнения на ЭВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного. Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, являются системы приёма цифровых радиосигналов с низкой вероятностью ошибки(порядка10–4…10–6).

Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических зависимостей. Такие алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования СВ. Например, изменение ПРВ семейства Райса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметров a и σ в алгоритме (16).

Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как выполнение на ЭВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.

B задачах, не предъявляющих высоких требований к качеству СВ, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближённые методы (п. 2.3).