Средняя длина свободного пробега молекул

Рассмотрение столкновений в изолированной системе частиц на основе фундаментальных законов сохранения [3, с. 52] позволило установить самые общие особенности этих процессов. Внутренний механизм взаимодействий, происходящих кратковременно, остался при этом нераскрытым. Вместе с тем, опыт описания внешнего воздействия в модели несвободной частицы [3, с. 57] подсказывает, для выявления подробного механизма необходимо знать характеристики «чистых» состояний взаимодействующих частиц { х ₁, р ₁}. Поскольку эти состояния неизвестны, сколько-нибудь подробное описание таких взаимодействий дать невозможно.

Тем не менее, возможен промежуточный путь. Если ограничиться пока характеристиками «смешанных» состояний, в которых реально находятся частицы при столкновениях, появляется возможность описать их взаимодействие косвенно, с помощью неких средних величин (см. параграф 7.1, в частности, формулы (7.5)).

Чтобы избежать подробного описания неизвестного механизма взаимодействия, при рассмотрении столкновения молекул газа будем наиболее естественным путём вводить его средние характеристики. Такой подход возможен, если характеристики системы частиц рассматриваются как средние величины одиночной «квазичастицы» индивидуального типа, находящейся в «смешанном» состоянии, характерном для теплового равновесия.

Рис. 7.5. Молекула сталкивается с теми молекулами, центры которых расположены внутри цилиндра радиуса R1 +R2.

Выделим, мысленно, какую-либо пару молекул в газе и одну из них условно примем за неподвижную. Естественно, существует определённая вероятность рассеяния, характеризуемая сечением рассеяния, подвижной молекулы на неподвижной. Поскольку размеры сталкивающихся молекул одного порядка, сечение рассеяния зависит от эффективных радиусов каждой из них. Если условно считать молекулы абсолютно твёрдыми шарами с одинаковыми радиусами, то для получения эффекта рассеяния необходимо, чтобы центр налетающей молекулы попал в цилиндр с сечением (рис. 7.5):

. (7.7)

Для одинаковых молекул , а d = 2 R – эффективный диаметр молекулы. Поскольку молекулы не твёрдые шарики, а их эффективные радиусы тем меньше, чем выше их энергии и, кроме того, молекулы не обязательно имеют сферически симметричную форму, так что d – величина усреднённая, и является средней мерой взаимодействия частицы с другими.

Разумеется, молекула в газе сталкивается не с одной, а со многими молекулами. Поэтому более удобной средней характеристикой взаимодействия является не сечение рассеяния, а зависящая от него средняя длина свободного пробега l или среднее время свободного пробега t.

За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости . Если за секунду она претерпевает в среднем столкновений, то средняя длина свободного пробега .

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений , обратимся к рис. 7.5. Проследим за движением выделенной молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет двигаться прямолинейно до тех пор, пока не столкнётся с какой-либо другой неподвижной молекулой, центр которой расположен внутри цилиндра радиуса R ₁+ R ₂. Изменив направление своего движения в результате столкновения, молекула опять будет двигаться прямолинейно, пока на её пути не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах обозначенного цилиндра радиуса R ₁+ R ₂.

За секунду молекула пройдёт путь, равный средней скорости . Число соударений, произошедших за эту секунду с неподвижными молекулами, равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь цилиндра длины и радиуса R ₁+ R ₂ = d (молекулы одного сорта). Тогда объём этого цилиндра V = p× d ²× . Умножив этот объём на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений движущейся молекулы с неподвижными молекулами за одну секунду:

= p× d ²× × n. (7.8)

В реальности всё-таки движутся все молекулы, вследствие чего число соударений определяется средней относительной скоростью движения молекул по отношению друг к другу. Если учесть этот факт, формула (7.8) с учётом приведённых выкладок,

Упражнение 7.1. Вычисление средней относительной скорости _отн.движения молекулы в газе.

Решение. Поскольку движение молекул хаотическое,

_отн.= ₂ – ₁ = _2хаот.– _1хаот..

Возводя это равенство в квадрат, получим

²_отн.= ²_2хаот.+ ²_1хаот. – 2 _1хаот.× _2хаот..

При усреднении последний член обращается в нуль благодаря произвольности ориентации векторов _iхаот.(отобразить на рис.), а молекулы одного сорта, так что

( ²_2хаот.) _ср = ( ²_1хаот.) _ср= ²_ср.

Следовательно,

²_отн.ср= ( ²_2хаот.) _ср + ( ²_1хаот.) _ср = 2× ²_ср.

принимает вид:

= ×p× d ²× × n. (7.9)

Подставив это выражение в формулу средней длины свободного пробега, получаем следующее уравнение:

. (7.10)

Поскольку при постоянной температуре концентрация изменяется пропорционально давлению p, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению; желательно записать и увидеть это.

В заключение параграфа следует заметить о появлении в описании вероятностных понятий. Действительно, отношение элемента пути dx к длине свободного пробега имеет смысл того, что частица может испытать столкновение на этом пути. Если настойчивый читатель проведёт преобразования пройденного пути через среднюю скорость и элементарный промежуток времени, а длину свободного пробега через среднюю скорость и время свободного пробега молекулы, равного обратной величине числа столкновений (7.9), то придёт к выражению вида (проделали?):

. (7.11)

Причина появления вероятностных понятий при описании движения молекулы в газе находится в «смешанных» состояниях (общих, усреднённых; но не индивидуальных). Появляется дополнительная неопределённость в характеристиках состояния частиц, поскольку точное расположение рассеивающих центров неизвестно. Его приходится задавать с помощью эффективных величин l и t, позволяющих описать взаимодействие частиц при многих столкновениях в среднем. При этом, естественно, остаётся неопределённость и в каждом столкновении, связанная с произвольностью прицельного параметра и реализованная в сечении рассеяния.