Относительность длины отрезка

Рис. 4.3. К установлению взаимосвязи пространственных интервалов в системах S и S/

Для установления соотношения длин отрезков в подвижной и неподвижной инерциальных систем отсчёта (ИСО) обратимся к рис. 4.3. Система S ^/ движется со скоростью V направо вдоль оси х системы S. Установление соотношения длин отрезков требует выполнения математической операции деления, например, длины l в неподвижной системе отсчёта S на длину l_о в движущейся системе отсчёта S ^/, т.е. l / l_о.

Для определения длины отрезка (l, или l_о), как правило, привлекается процесс сравнения с эталоном длины. Такую процедуру в нашем повседневном опыте нам приходится выполнять регулярно. Однако заметим, эталон единицы длины у нас определён; это система интернациональная СИ, в которой единица длины метр, и внесистемные единицы. Здесь сложение; неинвариантность понятия одновременности удалённых событий в произвольно движущихся ИСО (см. (4.6)), и принцип существования предельной скорости указывают на то, что единица длины в каждой из систем отсчёта должна определяться скоростью света с и временным интервалом соответствующей ИСО. Отсюда немедленно следует, интервал единица длины в ИСО S ^/ Dl_о = с × t ^/, а в инерциальной системе отсчёта S Dl = с × t. И тогда длина отрезка в движущейся системе отсчёта l ^/ = l_о/Dl_о = = l_о/ с × t ^/, а в неподвижной S системе l = l_о/Dl = l_о/ с × t. Отсюда соотношение длин отрезков запишется:

l / l ^/ . (4.7)

Учитывая формулу (4.6), длина тела l, измеренная в неподвижной ИСО в направлении её движения, запишется:

(4.8)

где l ^/ – длина отрезка в подвижной системе отсчёта. Иначе говоря, длина отрезка (тела), измеренная в движущейся ИСО в направлении её движения l ^/, испытывает сокращение. Максимальной длиной тело обладает в системе отсчёта, в которой оно покоится.

Сделанный вывод относится к размерам тела лишь в направлении движения ИСО. В поперечном направлении размеры тела не изменяются, так что, например, объём куба при измерении в движущейся инерциальной системе отсчёта изменяется по закону

; (4.9)

здесь под корнем отношение V ²/ с ² заменено постоянной b – бета, что упрощает запись и чаще встречается в литературе.

В заключение следует подчеркнуть, описанные выше эффекты не связаны с действием каких-либо сил. Они отражают лишь неинвариантность понятий промежутка времени и длины в мире событий.