Основное уравнение вращения

Наши рассуждения в работе [3] и те, которые представлены в предыдущих параграфах, позволяют утверждать, что концепция дальнодействия позволила нам во многих случаях рассматривать вещество как систему взаимодействующих частиц в условиях внешнего воздействия. В свою очередь эти внешние воздействия созданы другими материальными объектами. Естественно, понятие вещества при этом следует трактовать весьма широко. В наших рассуждениях это были: планетная система, кристалл или газ в сосуде. Очевидно, единообразного описания столь различных объектов можно достичь только в рамках какого-то общего приближённого подхода. И контуры его нами были фактически намечены не только в работе [3], но и в предыдущих параграфах. В частности, нам удалось показать, что систему исходных взаимодействующих частиц в определённых условиях можно смоделировать эквивалентной системой независимых «квазичастиц». Следующий шаг, который нам удалось сделать, это переход от модели свободной частицы к модели несвободной частицы, находящейся во внешнем поле. Естественно, модель несвободной «квазичастицы» сложнее модели частицы, поэтому ограничимся анализом лишь простейших систем непрерывно взаимодействующих частиц, которые моделируются изученными выше «квазичастицами». К ним, в частности, относятся «квазичастица» с приведённой массой и центр инерции, с которыми нам приходилось работать и ранее [3].

В предыдущих рассуждениях нам удалось достичь сколько-нибудь полного описания движения материальных объектов только в приближении а. т. т., которому соответствует простейшее предположение об энергии парного взаимодействия: . В этом случае все движения системы взаимодействующих частиц сводятся к свободным поступательному движению и её вращению как целого, моделируемым движением простейшего типа «квазичастиц» – центра инерции. Это приближение интересно тем, что оно передаёт особенности свободного движения системы взаимодействующих частиц как целого, свойства которой могут быть далеки от свойств и а. т.т., и реальных твёрдых тел. Поэтому это приближение может оказаться полезным при описании внешнего воздействия на такие объекты, рассматриваемые как целое. Учесть внешнее воздействие в этом случае также можно, если только оно достаточно слабое. Это означает, что в любой момент времени для каждой пары частиц должно выполняться условие , где выражения для энергий вращения и относительного движения пары частиц включают и вклады энергии внешнего взаимодействия. Для нас здесь существенно то, что система сохраняет свойства целого.

Приступая к изучению движения системы частиц при наличии внешнего воздействия целесообразно начать с введения характеристик такого воздействия. Если оговорённые выше условия выполняются, т. е. к системе применимо приближение а. т. т., то внешнее воздействие на неё сводится, лишь, к воздействию на поступательное движение и вращение системы частиц как целого. В этом случае систему частиц уже нельзя считать изолированной, подобное воздействие непосредственно связано с нарушением свойств однородности и изотропности пространства. В связи с этим за характеристики внешнего воздействия на систему частиц целесообразно выбрать «темп», (быстроту) изменения со временем её фундаментальных физических величин – импульса и момента импульса неизолированной системы частиц как целого.

С этой целью запишем импульс и момент импульса системы непрерывно взаимодействующих частиц на случай, когда имеет место внешнее воздействие:

, . (3.13)

Здесь – импульс i -й частицы, определяемый как взаимодействием частиц, так и внешним воздействием, R – радиус-вектор центра инерции по отношению к оси вращения (см., например, рис. 3.6), S (t) – собственный момент импульса системы частиц (относительно оси симметрии, центра масс, см. формулу (3.6)).

И тогда «темп» (быстрота) изменения импульса системы со временем определяется лишь внешним воздействием на систему частиц, поскольку благодаря свойствам ньютоновских сил взаимодействия (см. [3], с. 27), сумма внутренних сил обращается в нуль. Аналитически это запишется:

. (3.14)

Аналогично в качестве специфической характеристики внешнего воздействия на вращение системы частиц как целого выберем «темп» изменения со временем момента импульс а системы частиц. Аналитически это запишется (см. 3.13):

. (3.15)

Поскольку R – радиус-вектор центра инерции является величиной постоянной, то производная от векторного произведения приводит к выражению ; здесь использована формула (3.14), желательно проделать преобразования самостоятельно. Производная от собственного момента импульса системы частиц, с учётом выражения (3.6) приводит второе слагаемое правой части уравнения (3.15) к виду:

,

и тогда, наконец, мы получаем уравнение (3.15) в виде:

+ . (3.16)

Таким образом, из приведённого рассмотрения следует, внешнее воздействие на систему взаимодействующих частиц как целое можно описать независимыми величинами:

вектором полной силы , воздействующим на импульс центра инерции системы ;

вектором вращающего момента , воздействующим на собственный момент импульса системы в ССО.

Независимость приведённых величин видна хотя бы из того, что из равенства не следует равенство , и наоборот. Они отражают нарушения внешним воздействием соответственно однородности ( ¹ 0) и изотропности () пространства.

До сих пор мы рассматривали лишь результаты внешнего воздействия на фундаментальные характеристики системы частиц – импульс P _сист и момент импульса L _сист. Для дальнейшего анализа необходимо получить выражение для энергии внешнего воздействия на систему частиц. Чтобы упростить рассмотрение, ограничимся потенциальными внешними силами, для которых [см. 3, с. 28]. Тогда очевидно, что для системы частиц в приближении а. т. т. энергия внешнего воздействия:

. (3.17)

Наша цель – конкретизировать аналитическое выражение для энергии внешнего воздействия в известных внешних полях, вырази в его через характеристики системы частиц в приближении а. т. т. – радиус-вектор центра инерции R и углы поворота j_{i .} Для этого проанализируем изменение этой величины при смещении каждой частицы на dr_i:

. (3.18)

При сдвиге системы частиц как целого на dR, а все dr_i º dR, из уравнения (3.18) с учётом того, что мы имеем дело с потенциальными силами, следует: dU _пост = – = – = – . Отсюда немедленно приходим к тому, что

. (3.19)

Аналогично рассуждая при повороте системы частиц как целого на угол dj _z вокруг оси Z, проходящей через центр инерции, все dr_i º [ dj _z r_i ]. Поэтому из уравнения (3.18) приходим к выражению вида:

.

Отсюда следует, что вращающий момент

. (3.20)

Таким образом, в потенциальном поле сил, векторные характеристики внешнего воздействия на систему частиц – полная сила и вращающий момент – могут быть выражены через более простые скалярные характеристики внешнего воздействия – энергию поступательного движения U _пост(R) и вращения U _вр(j) во внешнем поле. Поскольку внешние воздействия независимы (с. 46), энергия системы частиц принимает вид суммы:

U _пост(R) + U _вр(j). (3.21)

Теперь мы готовы к тому, чтобы ответить на основной вопрос данного параграфа – как выглядит закон механики для вращательного движения. Во-первых, нам удалось установить, если система частиц, имеющая выделенную ось или центр, испытывает внешнее воздействие, то результатом этого воздействия является изменение её момента импульса ; где J – характеристика инерционных свойств системы к вращению. Во-вторых, при рассмотрении свободного вращения нам удалось установить аналитическое выражение для кинетической энергии вращения K = Jw ²/2. В-третьих, мы нашли аналитическое выражение, связывающее вращающий момент с изменением потенциальной энергией внешнего воздействия на систему частиц . Учитывая, что работа равна изменению энергии, взятой с противоположным знаком, аналитическое выражение для работы при вращательном движении запишется:

. (3.22)

Работа при вращении идёт на изменение кинетической энергии вращения K = Jw ²/2. Элементарное изменение работы равно элементарному изменению энергии, т.е. dA _вр = dK _вр = d (Jw ²/2), и тогда, продифференцировав выражение кинетической энергии вращения, уравнение (3.22) может быть представлено в виде (проделали преобразования?):

.

Если учесть, что , приходим к уравнению: . И, наконец, обозначив угловое ускорение dw / dt символом e-эпсилон, приходим к основному уравнению вращения:

. (3.23)

Момент силы, действующий на тело, равен произведению момента инерции на угловое ускорение.