Вероятности ошибочного декодирования циклических кодов

Вектором ошибки называется двоичная последовательность длины , в которой единицы стоят на позициях символов принятых с ошибкой. Отсюда вероятность не обнаружения ошибки заданным кодом равна вероятности появления в заданном дискретном канале векторов ошибок, совпадающих с кодовыми словами

Относительно просто эти вероятности могут быть рассчитаны для двоичного симметричного канала без памяти. В таком канале каждый двоичный символ с некоторой фиксированной вероятностью принимается правильно и с вероятностью изменяется помехой на обратный. Передача/прием каждого символа полагается событием независимым (канал без памяти).

Если по такому каналу передается кодовое слово длины , то вероятность того, что не произойдет ни одной ошибки, равна .

Вероятность того, что будет одна ошибка в заданном символе, равна .

Вероятность того, что слово на выходе канала будет отличаться от передан­ного слова в заданных разрядах, т.е. вектор ошибок содержит единиц, равна

.

Вероятность того, что слово на выходе канала будет отличаться от передан­ного слова в любых разрядах, равна

,

где — число сочетаний из по .

Предположим, что некоторый линейный код (5,3) содержит одно нулевое слово (как всякий линейный код), два слова, вес которых равен 2, четыре слова — весом 3, одно слово — весом 4 (всего слов).

Вероятность необнаруживаемой этим кодом ошибки равна вероятности по­явления в ДСК векторов ошибок, совпадающих с кодовыми словами, т.е.:

В режиме исправления ошибок декодер вычисляет остаток от деления принятой последовательности на . Этот остаток называют синдромом. Принятый полином представляет собой сумму по модулю 2 переданного слова и вектора ошибок :

.

Тогда синдром , так как по определению циклического кода . Некоторому синдрому может быть поставлен в соот­ветствие определенный вектор ошибок . Тогда переданное слово находят, складывая .

Однако один и тот же синдром может соответствовать различным векто­рам ошибок. Предположим, синдром соответствует вектору ошибок . Но и все векторы ошибок, равные сумме , где - любое кодовое слово, будут давать тот же синдром. Поэтому, поставив в соответствие синдрому вектор ошибок , мы будем осуществлять правильное декодирование в случае, когда действительно вектор ошибок равен , во всех остальных случаях декодирование будет ошибочным.

Для уменьшения вероятности ошибки декодирования из всех возможных векторов ошибок, дающих один и тот же синдром, следует выбирать в качестве исправляемого наиболее вероятный в заданном канале.

Например, для двоичного симметричного канала, в котором вероятность ошибочного приема двоичного символа существенно меньше вероятности правильного приема, вероятность появления векторов ошибок уменьшается с увеличением их веса . В этом случае следует исправлять в первую очередь вектор ошибок меньшего веса.

Если кодом могут быть исправлены только все векторы ошибок веса и меньше, то любой вектор ошибки веса от до п будет приводить к ошибоч­ному декодированию.

Вероятность ошибочного декодирования будет равна вероятности появления векторов ошибок веса и больше в заданном канале. Для ДСК эта вероятность будет равна

Общее число различных векторов ошибок, которые может исправлять цик­лический код, равно числу ненулевых синдромов .