Префиксные коды

Простейшими кодами, на основе которых может выполняться сжатие данных, являются коды без памяти. В коде без памяти каждый символ в кодируемом векторе данных заменяется кодовым словом из префиксного множества двоичных последовательностей или слов.

Префиксным множеством двоичных последовательностей S называется конечное множество двоичных последовательностей, таких, что ни одна последовательность в этом множестве не является префиксом, или началом, никакой другой последовательности в S.

К примеру, множество двоичных слов S1 = {00, 01, 100, 110, 1010, 1011 } является префиксным множеством двоичных последовательностей, поскольку, если проверить любую из возможных совместных комбинаций (w_i w_j) из S1, то видно, что w_i никогда не явится префиксом (или началом) w_j. С другой стороны, множество S2 = { 00, 001, 1110 } не является префиксным множеством двоичных последовательностей, так как последовательность 00 является префиксом (началом) другой последовательности из этого множества - 001.

Таким образом, если необходимо закодировать некоторый вектор данных X = (x₁, x₂,… x_n) с алфавитом данных А размера N, то кодирование кодом без памяти осуществляется следующим образом:

- составляют полный список символов a₁, a₂, a_j...,a_N алфавита А, в котором a_j - j -й по частоте появления в X символ, то есть первым в списке будет стоять наиболее часто встречающийся в алфавите символ, вторым – реже встречающийся и т.д.;

- каждому символу a_j назначают кодовое слово w_j из префиксного множества двоичных последовательностей S;

- выход кодера получают объединением в одну последовательность всех полученных двоичных слов.

Формирование префиксных множеств и работа с ними – это отдельная серьезная тема из теории множеств, выходящая за рамки нашего курса, но несколько необходимых замечаний все-таки придется сделать.

Если S ={ w₁, w₂,..., w_N } - префиксное множество, то можно определить некоторый вектор , состоящий из чисел, являющихся длинами соответствующих префиксных последовательностей (m_i - длина w_i ).

Вектор , состоящий из неуменьшающихся положительных целых чисел, называется вектором Крафта. Для него выполняется неравенство

. (8.10)

Это неравенство называется неравенством Крафта. Для него справедливо следующее утверждение: если S - какое-либо префиксное множество, то v(S) - вектор Крафта.

Иными словами, длины двоичных последовательностей в префиксном множестве удовлетворяют неравенству Крафта.

Если неравенство (8.10) переходит в строгое равенство, то такой код называется компактным и обладает наименьшей среди кодов с данным алфавитом длиной, то есть является оптимальным.

Ниже приведены примеры простейших префиксных множеств и соответствующие им векторы Крафта:

S1 = {0, 10, 11} и v(S1) = (1, 2, 2);

S2 = {0, 10, 110, 111} и v(S2) = (1, 2, 3, 3 );

S3 = {0, 10, 110, 1110, 1111} и v(S3) = (1, 2, 3, 4, 4);

S4 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 1111} и v(S4) = (1, 2, 4, 4, 4, 4);

S5 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 11110, 11111} и v(S5) = (1, 2, 4, 4, 4, 5, 5);

S6 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 11110, 111110, 111111}

и v(S6) = (1,2,4,4,4,5,6,6).

Допустим мы хотим разработать код без памяти для сжатия вектора данных X = (x₁, x₂,… x_N) с алфавитом А размером в N символов. Введем в рассмотрение так называемый вектор вероятностей , где - вероятность появления i -го символа из А в X или вектор частот F = (f₁, f₂,..., f_N), где f_i - количество появлений i -го символа из А в X. Закодируем X кодом без памяти.

Длина двоичной кодовой последовательности на выходе кодера составит

, (8.11)

а средняя длина двоичной кодовой последовательности на выходе кодера составит

. (8.12)

Лучшим кодом без памяти был бы код, для которого средняя длина - минимальна. Для разработки такого кода нам нужно найти вектор Крафта, для которого была бы минимальной.

Простой перебор возможных вариантов - вообще-то, не самый лучший способ найти такой вектор Крафта, особенно для большого .