Модели сигналов в системе комплексных экспоненциальных функций

При решении задач анализа зачастую оказывается удобным использовать базисные функции вида

,

где W _i = i ×2p/ Т _п.

Такой базис в отличие от тригонометрического является комплексным. Эта система функций является ортогональной на любом интервале времени Т _п. Разложение периодического сигнала в таком базисе называется комплексным рядом Фурье:

При комплексном экспоненциальном базисе частоты гармоник должны принимать как положительные, так и отрицательные значения. Таким образом, частота при использовании данного математического аппарата приобретает формальный математический смысл, так как физически отрицательная частота не имеет смысла.

Коэффициенты являются комплексными амплитудами гармоник. При расчете используется комплексно-сопряженный базис

.

.

Комплексная амплитуда несет информацию не только об амплитуде гармоники, но и о фазе. Модуль комплексной амплитуды

,

т.е. равен половине амплитуды i -й составляющей вещественного спектра. Фаза совпадает для i >0 с фазой i -й составляющей вещественного спектра и противоположной ей для i <0. Постоянные составляющие для обоих спектров одинаковы.

Итак, любой составляющей вещественного спектра на частоте W _i соответствуют две составляющие комплексного спектра, которые в сумме дают действительную функцию частоты W _i:

.

Комплексный спектр и соответствующий ему вещественный спектр показаны на рис 2.7.

Рис 2.7. Комплексный спектр (а) и соответствующий ему вещественный спектр (б) периодической последовательности прямоугольных импульсов.