Математические модели простейших сигналов

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТЕЙШИХ СИГНАЛОВ

В качестве простейших сигналов используется гармоническое колебание (рис.2.1).

Математически такой сигнал описывается действительной гармонической функцией вида:

,

где – амплитуда колебаний, В; – частота, Гц; T – период колебаний, с; w₀ =2p f ₀– угловая частота, радиан/с; j₀ – начальная фаза, радиан или градус; y(t) = w₀ t+ j₀ – полная фаза.

При анализе электрических цепей удобно представлять сигнал в
комплексной форме. Для этого используется формула Эйлера:

.

Тогда гармонический сигнал можно представить в виде:

где и – соответственно действительная и мнимая части.

С геометрической точки зрения сложный сигнал удобно представить в виде взвешенной суммы элементарных сигналов

,

где u _i – набор некоторых функций, называемых базисными, U_i - постоянные коэффициенты.

Представление сигнала в виде такого ряда называется обобщенным спектральным представлением.

Наиболее удобно в качестве базисных использовать систему ортогональных функций. Для действительного базиса условия ортогональности записываются в виде:

где E_i - энергия сигнала u _i (t).

Для комплексных базисных функций это выражение примет вид

где – комплексно-сопряженная функция.

Для удобства часто используется ортонормированный базис

На практике наиболее употребительны следующие виды базисов:

- система тригонометрических функций;

- система комплексных экспоненциальных функций;

- системы дискретных функций Уолша, Хаара и др.