Ортогональных проекций октаэдра

(рис.14.6, 14.7)

Определение 14.3. Система 8-ми конгруэнтных, конкурентных и равно-наклонёных друг к другу равносто-

сторонних треугольников называется поверхностью октаэдра.

Форма равносторонних треуголь-

ных граней октаэдра определяет изо-

бразительные свойства его ортогональ-

ных проекций (рис.14.6).

Утверждение 14.4. Если рёбра ок-таэдра занимают в пространстве по-ложения линий уровня, то очерками его ортогональных проекций являют-ся конгруэнтные квадраты, с диаго-налями которых совпадают соответ-ствующие проекции тех рёбер, кото-рые не определяют эти очерки.

Рис.14.7. Графическая модель октаэдра, грани которого занимают в пространстве фронтально и профильно-проецирующие положения

Утверждение 14.5. Если грани ок-таэдра занимают в пространстве фронтально и профильно-проециру-ющие положения, то очерком его го-ризонтальной проекции является ква-драт со сторонами, равными сторо-нам его треугольных граней, а очерка-

ми его фронтальной и профильной проекций являются конгруэнтные ромбы, стороны которых равны высо-там Н его треугольных гране й (рис.

14.6)

Конструктивно октаэдр является ре-зультатом соединения 6 четырёхгран-ных пирамид, основаниями которых яв-ляются 3 его взаимно-перпендикуляр-ные квадратные сечения по противо-положным рёбрам, а вершины и рёбра симметричны относительно этих сече-ний.

У октаэдра один центр симметрии в пересечении его диагоналей, 9 осей симметрии, 3 из которых совпадают с его диагоналями, и 6, - с малыми диа-гоналями его ромбовых сечений, опре-

Рис. 14.8. Центр, оси и плоскости

симметрии октаэдра

Рис.14.9. Преобразование октаэдра Ф в куб S

Рис. 14.10. Преобразование куба Ф в

октаэдр S

деляемых попарно высотами его про-

тивоположных параллельных равно-сторонних граней и 9 плоскостей сим-метрии, попарно определяемых этими осями (рис.14.8).

Метрические характеристики

октаэдра

Число сторон граней - 3;

Число граней - 8;

Число рёбер - 12;

Число вершин - 6;

Площадь поверхности - 2 а² Ö 3;

Объём - а³ / 3 Ö 2;

Радиус описанной сферы - а / Ö 2;

Радиус вписанной сферы - а / Ö 6;

Двугранный угол при ребре - 114 °

Сравнение метрических характерис-тик куба и октаэдра показывает, что чи-

сло граней октаэдра равно числу вер-шин куба и наоборот, число вершин октаэдра равно числу граней куба при одинаковом числе рёбер.

Это обстоятельство означает, что между вершинами и гранями обеих по-верхностей устанавливается взаимно-однозначное соответствие, что даёт возможность конструктивного взаимно-го преобразования этих поверхностей друг в друга.

Для преобразования октаэдра в куб необходимо в каждой его грани провес-ти высоты и точки их пересечения как вершины искомого куба, соединить ме-жду собой 12-ю ребрами (рис. 14.9).

Для преобразования куба в октаэдр достаточно провести диагонали всех граней и точки их пересечения как вер-шины искомого октаэдра, соединить между собой 12-ю рёбрами (рис. 14.10).

14.1.4. Изобразительные свойства ортогональных проекций додекаэдра (рис.14.12).

Определение 14.4. Система 12-ти конгруэнтных, конкурентных и равно-наклонённых друг к другу правильных пятиугольников называется поверхно-стью додекаэдра.

Форма граней додекаэдра в виде правильных пятиугольников (пентаго-нов) определяют изобразительные сво-йства его ортогональных проекций.

Правильный пятиугольник приме-чателен тем, что является соединени-

ем пяти золотых треугольников [ 47] (рис.14.11, а). Пропорции золотого тре-

угольника таковы, что длина его осно-вания относится к длине высоты как 2 к 3.

На основе этой пропорции предла-гается графическая схема деления ок-ружности на 5 равных частей без да-льнейшего использования циркуля

(рис.14.11, в).

Рис. 14.11. Построение пентагона, вписанного в

окружность, при помощи одной линейки.

В основу графической технологии построения правильных многоугольни-ков положено использование ключевых фигур – нижней части квадрата 123 и равностороннего треугольника 789, ни-жнее основание которого определилось вершинами 5 и 6 квадрата 1546, по-строенного на радиусе 41 окружности как на диагонали. В итоге треугольник 569 оказывается золотым так как поло-вина 5 12 его основания укладывается в его высоте 9 12 3 раза.

Продлив стороны 95 и 96 этого тре-угольника до пересечения с окружнос-тью, получаем 3 вершины 9, 10, 11 ис-комого пятиугольника. Остальные две вершины 15 и 16 являются точками пе- ресечения с окружностью прямых 12 13 и 12 14.

Практически пентагон можно полу-чить, «завязав» простым узлом полосу бумаги шириной, равной расстоянию от

его стороны до параллельной этой сто-роне диагонали (рис. 14. 11, б).

Рис.14.12. Графическая модель поверхности додекаэдра

Рис. 14.13. Графическая модель додекаэдра как результат соединения 12-ти пятигранных пирамид

Утверждение 14.6.. Если две па-

раллельные грани додекаэдра го-ризонтальны, а две пересекаю-щиеся с ними, - профильно-про-ецирующие, то очерком его гори-зонтальной проекции является правильный десятиугольник с ра-диально расположенными проек-циями рёбер, соединяющими его вершины с вершинами двух пра-вильных пятиугольников, -- гори-зонтальных проекций верхнего и нижнго оснований, повёрнутых относительно друг друга на 180°.

Для того, чтобы по очерковому 10 –угольнику построить его внутреннее за-полнение, необходимо руководствова-ться принципом: если две прямые ли-нии не параллельны, но компланарны, т.е., принадлежат одной плоскости, то они конкурентны, т.е., пересекаются.

Если стороны 10-угольника через две продлить до взаимного пересече-ния, то полученные точки окажутся вер-шинами одного правильного 10-уголь-ника, подобного очерковому, или двух

правильных 5-угольников, повернутых относительно друг друга на 36°.

Если вершины каждого 5-угольника

соединить через одну, то получим две повёрнутых пентаграммы, стороны ко-торых, пересекаясь, определят проек-ции верхнего и нижнего оснований до-декаэдра в положении горизонтальных плоскостей уровня.

Соединив вершины этих оснований с вершинами очеркового 10-угольника, получаем горизонтальные проекции ос-тавшихся 10 граней додекаэдра, две из которых, смежные с горизонтальными основаниями, являются профильно-проецирующими.

Горизонтальная проекция додекаэ-дра содержит в себе позиционную и метрическую информацию о величине высоты профильно-проецирующих и параллельных между собою граней и её горизонтальной проекции, чего дос-

таточно, чтобы построить вырожден-ные в прямые линии профильные про-екции 4-х профильно-проецирующих граней.

Остальные как профильные, так и фронтальные проекции вершин и рёбер додекаэдра строятся по выполненной их горизонтальной проекции и мыслен-ному представлению о структуре по-

верхности.

Это представление показывает, что часть пространства, ограниченная 12-ю правильными пятиугольниками, являет-ся общей для 12 пятигранных пирамид,

поверхности которых, пересекаясь, об-разуют поверхность изучаемого доде-каэдра. Вершины одних пирамид после-

довательно являются вершинами пяти-

Рис. 14.14. Геометрическая модель додекаэдра

как результат соединения 12-ти пятигранных

пирамид

угольных оснований других. Будучи ра-

Рис. 14.15. Геометрическая модель малого звёздчатого додекаэдра

Рис.14.16. Куб, вписанный в додекаэдр

Рис.14.17. Графическая модель малого битригонального икосододекаэдра.

вноудалёнными в пространстве, эти 12

вершин, соединённые по три, образуют правильную 20-гранную поверхность с гранями в виде равносторонних треуго-льников, т.е., поверхность икосаэдра.

Так как плоскости граней додекаэд-ра по отношению к поверхностям об-разующих пирамид являются как бы се-кущими, то, не обращая внимания на основания этих пирамид за пределами додекаэдра, принимаем его грани за основания таких пирамид, рёбрами ко-торых являются продолжения рёбер смежных с этим основанием граней до-декаэдра. В итоге получаем новую мно-гогранную поверхность, называемую малым звёздчатым додекаэдром (рис. 14.15).

Все элементы поверхности додека-эдра центрально-симметричны, оси симметрии отсутствуют, а присутствуют 30 плоскостей симметрии, собранные в 6 пучков по 5 штук, осями которых служат нормали к 6 парам параллель-ных граней в их центрах.

Метрические характеристики

додекаэдра

Число сторон граней - 5;

Число граней - 12;

Число рёбер - 30;

Число вершин - 20;

Площадь

поверхности - 3а ² Ö 5 (5 + 2 Ö 5);

Объём - а ³ / 4 (15 + 7 Ö 5);

Радиус описанной

сферы - а / 4 Ö 15 + Ö 3;

Радиус вписанной

сферы - а / 2Ö(25 + 11 Ö 5) / 10;

Двугранный угол при ребре - 128 °

Сравнение метрических характери-стик куба и додекаэдра показывает, что число рёбер куба равно числу граней додекаэдра. Это означает, что конгру-энтные диагонали граней додекаэдра могут быть приняты за рёбра 5-ти ку-бов, вписанных в додекаэдр (рис.14.16, 14.17). В итоге получается поверхность, называемая малым битригональным икосододекаэдром.

14.1.5. Изобразительные свойства