Прием гармонического сигнала с плоским волновым фронтом

Предположим, что N элементов АР распределены вдоль оси x, как это показано на рис. 10.1. Начало координат выбрано в точке расположения крайнего левого элемента решетки с номером 1. Межэлементное расстояние обозначено буквой d.

Предположим, что плоская монохроматическая волна единичной амплитуды падает на АР под углом φ по отношению к оси y. Волна возбуждает гармоническое электрическое колебание в каждом элементе АР. Без ограничения общности начало отсчета времени можно выбрать так, что при t =0 фаза колебания равна нулю в первом элементе решетки.

Таким образом, сигнал, принятый первым элементом, можно представить в виде

, (10.1)

где j - мнимая единица, - циклическая частота, а - частота колебания, выраженная в герцах.

Колебание во втором элементе АР опережает колебание в первом элементе на время , которое легко определить, используя рис. 10.1. Из геометрических соображений находим, что

, (10.2)

где с - скорость распространения электромагнитных волн, которую принимают равной скорости света, так как не рассматривается влияние среды.

За время фаза колебания второго элемента АР увеличивается на величину по отношению к фазе колебания в первом элементе. Поэтому сигнал, принятый вторым элементом, можно записать в виде

. (10.3)

Подставляя (10.2) в (10.3) и учитывая, что длина волны , находим колебание, возбуждаемое волной во втором элементе, в следующем виде

. (10.4)

Выражение (10.4) легко получить также, применяя в качестве исходной формулу, описывающую распространение плоской волны

, (10.5)

где - волновое число, r – расстояние, пробегаемое волной.

Из рис. 10.1 видно, что расстояние, которое волна проходит до второго элемента меньше, чем расстояние, которое она проходит до первого элемента, на величину . Эта разница в расстояниях называется обычно разностью хода волны. Разность фаз колебаний, получающаяся из-за разности хода, определяется умножением разности хода на волновое число, как показывает формула (10.5). Таким образом, мы находим, что разность фаз равна , что соответствует выражению (10.4).

Теперь легко понять, что колебания, возбуждаемые волной в разных элементах АР, отличаются только разностью фаз , которая зависит от номера элемента n следующим образом

. (10.6)

Обобщая (10.4) с помощью (10.6), получим выражение, описывающее колебания во всех элементах АР, в следующем виде

. (10.7)

Второй множитель в этом выражении зависит только от частоты колебания. Он одинаков для всех элементов АР и поэтому не несет информации о геометрии АР и направлении прихода волны. Во многих задачах этот множитель опускают из рассмотрения.

Первый множитель называют комплексной амплитудой сигнала. Именно он имеет существенное значение в задачах, связанных с пространственно-временной обработкой сигнала.

Обозначим комплексную амплитуду как . Тогда выражение (10.7) принимает вид

. (10.8)

АР представляет собой многоканальную систему, так как волна возбуждает одновременно N колебаний различной амплитуды. Математика дает нам возможность описать единообразно всю совокупность сигналов (10.8), если ввести вектор комплексных амплитуд и вектор сигналов следующим образом

;

(10.9)