Нормальное распределение. Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому он используется в очень большом числе практических приложений.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. (1.12)

Нормальное распределение (рис. 1.5) полностью определяется двумя параметрами - математическим ожиданием m = M (X) и средним квадратическим отклонением - σ = σ(Х) - и символически обозначается Х ~ N (m, σ²) или X ~ N (m, σ). При изменении числовой характеристики m нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох, при изменении σ меняется форма кривой. Нормальный закон распределения с числовыми характеристиками (параметрами) m = 0 и σ² = 1 называется стандартным распределением.

Рис. 1.5.

Для практических расчетов вероятностей СВ, подчиняющихся нормальному распределению, удобно пользоваться таблицами значений функции Лапласа (Приложение 1). Функция (интеграл вероятностей) Лапласа Ф (u) имеет вид:

(1.13)

где F(u) - функция стандартного нормального распределения СВ U, . Тогда вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [ х ₁, х ₂].

Р (х ₁ £ Х £ х ₂) = Ф (u ₂) – Ф (u ₁), (1.14)

где .

Кроме того, справедливы следующие соотношения: Р (| Х - m | < σ) = 0,68; P(| Х - m | < 2σ) = 0,95; P(| Х - m | < 3σ) = 0,9973, где | Х - m | - отклонение СВ Х от математического ожидания. Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х на 95 % сосредоточены в области (m - 2σ, m + 2σ) и на 99,73 % сосредоточены в области (m - 3σ, m + 3σ).

Следует также отметить, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение.

В том случае, когда логарифм СВ подчинен нормальному закону, говорят, что она имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

1.3.2. Распределение χ² (хи-квадрат)

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ²-распределение, распределения Стьюдента и Фишера-Снедекора.

Пусть имеется n независимых СВ Х_i, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ _i, соответственно. Если считать, что математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице, тогда СВ U_i = (X_i - m_i)/σ _i имеют стандартное нормальное распределение, U_i ~ N (0,1).

Распределением χ ² с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ U_i

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n - m.

Распределение χ² определяется одним параметром - числом степеней свободы ν: М (χ²) = ν = n - m, D (χ²) = 2 ν = 2(n - m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ²-рас­пределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ² постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ²-рас­пределения приведены в Приложении 3.