Обращение матриц

Определение 3.17. Квадратная матрица называется обратимой, если существует квадратная матрица , удовлетворяющая условиям .

Матрица называется обратной к и обозначается .

Свойства операции:

1) ;

2) .

Пример 3.3. Найти матрицу обратную к матрице .

Решение. По определению , , тогда Отсюда .

Проверка. По определению . и .

3.1. Вычислить:

1) , 2) .

3.2. Вычислить:

1) , 2) ,

3) , 4) .

3.3. Матрица А имеет размер , матрица С – размера . Существует ли произведение ? Каковы размеры матриц B и ABC?

3.4. Проверить существует ли произведение матриц, если да, то вычислить его.

1) , 2) ,

3) , 4) .

3.5. Протранспонировать матрицу:

1) 2) 3) 4)

3.6. Всегда ли верно матричное тождество . Привести примеры перестановочных матриц.−

3.7. Вычислить , если

1) ,

2) ,

3.8. Вычислить .

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) .

3.9. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

1) , 2) .

3.10. Найти обратные матрицы для

1) , 2) .

3.11. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали. Доказать, что след равен следу .