Еліпсоїд. Властивості. Зображення

Еліпсоїд – це поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (6)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліпсоїда. Опишемо деякі властивості еліпсоїда, які безпосередньо випливають із рівняння (6).

Властивість 1. Еліпсоїд симетричний відносно початку координат, координатних площин та осей.

Для доведення властивості 1 достатньо побачити, що разом з точкою даній поверхні належать також точки

, , , ,

, та .

Встановлений факт означає, що координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для еліпсоїда.

Властивість 2. Еліпсоїд перетинає координатні осі в точках , , , , , .

Доведення властивості 2 очевидне.

Властивість 3. Точки еліпсоїда розташовані всередині прямокутного паралелепіпеда, який визначається системою нерівностей

.

Для доведення властивості 3 припустимо, що для точок, які належать еліпсоїду, виконується умова . Звідси маємо , а це суперечить рівності (6), оскільки у цьому випадку вона неможлива. Отже, для всіх точок еліпсоїда виконується умова . Аналогічно доводяться друга та третя нерівності системи.

Перейдемо до дослідження перерізів еліпсоїда площинами, що паралельні до координатних площин. Система

визначає сім’ю ліній, проектуючи які на площину , дістаємо лінії, які задаються рівняннями

.

Якщо , то це рівняння задає параметричну сім’ю еліпсів з півосями та . Оскільки відношення півосей, яке визначає ексцентриситет, а, отже, і форму еліпса, не залежить від , то всі еліпси мають однакову форму. Найбільший із еліпсів отримаємо при . Він знаходиться у площині . При зростанні від 0 до півосі еліпса зменшуються і він стягується в точку при . Аналогічно, системи рівнянь

,

задають та параметричні сім’ї еліпсів, які лежать у площинах, паралельних до площин та . Виконані дослідження дозволяють зобразити дану поверхню (рис. 1).

Точки та називають вершинами еліпсоїда, початок координат – його центром, а числа та – півосями еліпсоїда. Оскільки при площини перетинають еліпсоїд по колах, то рівняння

задає поверхню обертання. Її називають еліпсоїдом обертання з віссю обертання . Аналогічно, рівняння та задають еліпсоїди обертання з осями обертання та відповідно. При рівняння виражає сферу.