С) Интегрирование оригинала

Если и , то

.

Т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на р.

Доказательство:

Заметим, что , .

Пусть .

Найдем изображение производной .

В то же время

Приравнивая правые части, получим

,

т.е.

.

Важнейшее свойство преобразования Лапласа- это то, что сложным действиям дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов соответствуют простые алгебраические действия умножения и деления на р в пространстве изображений.

9с) Дифференцирование изображений.

т.о. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t).

Доказательство:

,

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции ,т.е.

Применяя теорему n раз получим

Пример. Найти изображение степенной функции , используя 9с).

Если , то получить формулу можно последовательным дифференцированием и умножением на – t.

.

Повторяем умножение – дифференцирование.

По индукции нетрудно получить формулу

.

С помощью Г функции формулу можно распространить на любые .

.