Меры возможности и необходимости

Следующие неравенства непосредственно вытекают из аксиомы монотонности (7.2) и характеризуют объединение или пересечение событий:

(7.4)

(7.5)

Предельным случаем мер неопределенности оказываются функции множества

такие,

(7.6)

Они называются мерами возможности по Заде [12-17]. Если условие справедливо для любой пары непересекающихся множеств , то оно справедливо и для любой пары множеств (событий).

Пусть достоверное событие. Легко определить функцию со значениями из , удовлетворяющую условию (7.6):

(7.7)

Ясно, что в данном контексте означает, что событие возможно.

Это наводит на мысль о связи мер возможности с теорией ошибок. В частности, если два противоположных события ( есть дополнение в ), то имеем

(7.8)

Утверждение, что события и одинаково возможны, соответствует случаю полного незнания, когда событие столь же ожидаемо, что и противоположное событие.

Наконец, условие (7.6) согласуется с представлением о возможности на уровне здравого смысла: для того чтобы реализовать , достаточно реализовать самый

«легкий» вариант из этих двух (наименее дорогостоящий), [103].

Когда множество конечно, то всякую меру возможности можно определить по ее значениям на одноточечных подмножествах :

(7.9)

где есть отображение из в , называемое функцией распределения возможностей. Оно является нормальным в смысле

(7.10)

поскольку

Когда множество бесконечно, то не гарантировано существование функции распределения возможностей. Соответствующее распределение становится распределением возможности лишь тогда, когда аксиома (7.6) расширяется на случай бесконечных объединений событий [97]. В прикладных задачах можно всегда исходить из функции распределения возможностей и строить меру возможности с помощью формулы (7.9). В наиболее общем случае меры возможности не удовлетворяют аксиоме непрерывности (7.3) для убывающих последовательностейвложенных множеств. Другой граничный случай мер неопределенности получается при достижении равенства в формуле (7.5). При этом определяется класс функций множества, называемых мерами необходимости и обозначаемых , которые удовлетворяют аксиоме, двойственной аксиоме (7.6):

(7.11)

Легко построить функцию со значениями в {0,1}, исходя из информации о достоверном событии и полагая

(7.12)

Здесь означает, что - достоверное событие (с необходимостью истинное).

Более того, легко видеть, что функция множества удовлетворяет аксиоме (7.11) тогда, и только тогда, когда функция , определяемая в виде

(7.13)

является мерой возможности. Формулы (7.12) и (7.13) поясняют название «меры необходимости» для функции [97]. Формула (7.13) есть численное выражение отношения двойственности между модальностями «возможно» и «необходимо» (в модальной логике), постулирующее, что некоторое событие необходимо, когда противоположное событие невозможно. Это отношение двойственности означает, что всегда можно построить функцию распределения необходимости исходя из функции распределения возможностис помощью формулы

(7.14)

Меры необходимости удовлетворяют соотношению

(7.15)

которое исключает одновременную необходимость двух противоположных событий. С помощью (7.13) и (7.15) (или (7.8)) нетрудно проверить, что

(7.16)

Данное условие отвечает интуитивно представлению о том, что, прежде чем быть необходимым, событие должно быть возможным. К тому же имеются более сильные утверждения, чем аксиома (7.16):

(7.17)

(7.18)