II-3.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на ёмкость склада

Пусть P – площадь складского помещения для хранения n видов продукции, причем площадь, выделяемая для хранения единицы продукции i -го вида, равна P_i (i =1,.., n).

Вводя те же обозначения, что и в разделе II-3.4.1, для каждого вида продукции, получаем многопродуктовую модель управления запасами с ограничением на ёмкость склада.

(II.46)

(II.47)

(дефицит не допускается) (II.48),

где d_i – спрос на продукцию i -го вида в единицу времени; K_i – затраты на выполнение заказа; h_i – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.

Задача (II.46)-(II.48) является задачей выпуклого программирования, так как является выпуклой функцией, а множество планов ЗВП (II.46 - II.48) является выпуклым множеством в силу линейности ограничения (II.46).

Общее решение ЗВП (II.46)-(II.48) может быть найдено любым методом решения ЗВП.

В частности, для решения задачи (II.46)-(II.48) можно применить метод множителей Лагранжа, предварительно проверив выполнимость ограничения (II.47) для решения ЗУЗ без ограничений на ёмкость склада.

Действительно, используя формулу II.38, получим

i =1,…, n (II.49)

Если , то (II.49) является решением задачи (II.46)-(II.48), иначе ограничение (II.47) необходимо рассматривать как строгое, то есть

(II.47’)

Пример II.5. Пусть в задаче (II.46)-(II.48) n =1; K ₁=10; d ₁=2; h ₁=0,3; P ₁=1. Требуется определить оптимальный размер заказа для двух складов площадью P = 12 и P = 9 соответственно.

Решение. Для случая n = 1 задача имеет вид

По формуле II.38 (без ограничения на ёмкость склада)

Далее, если P = 12, то , следовательно, является решением задачи (II.46)-(II.48).

Если P = 9, то , следовательно, решением задачи

будет .

Пример II.6. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов продукции

(n =2), исходные данные которой приведены в следующей таблице:

Вид продукции	Ki, $	di, ед.	hi, $	Pi, м2
			0,3
			0,1

Общая площадь складского помещения составляет P = 25 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции.

Решение. Для случая n = 2 задача (II.46)-(II.48) имеет вид

или

(II.50)

Оптимальный размер заказа для каждой продукции без ограничения на ёмкость склада определяем по формуле II.38.

Так как , то необходимо решать задачу (II.50), учитывая ограничение на ёмкость склада как строгое, то есть

(II.51)

Выразим из 4.17 и подставим в (II.50).

(II.52)

Решим задачу (II.52) приближённо с помощью методов одномерной оптимизации. Пусть приближённое значение и h = 1.

Так как F (9) = 5,62; F (10) = 5,58; F (11) = 5,59, то очевидно, что

.

Примем, что , тогда

При этом