Контрольная работа №1. 21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

1 - 20. Даны векторы а (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), с (с₁; с₂; с₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а (1;2;3), b (-1;3;2), с (7;-3;5), d (6;10;17).

2. а (4;7;8), b (9;1;3), с (2;-4;1), d (1;-13;-13).

3. а (8;2;3), b (4;6;10), с (3;-2;1), d (7;4;11).

4. а (10;3;1), b (1;4;2), с (3;9;2), d (19;30;7).

5. а (2;4;1), b (1;3;6), с (5;3;1), d (24;20;6).

6. а (1;7;3), b (3;4;2), с (4;8;5), d (7;32;14).

7. а (1;-2;3), b (4;7;2), с (6;4;2), d (14;18;6).

8. а (1;4;3), b (6;8;5), с (3;1;4), d (21;18;33).

9. а (2;7;3), b (3;1;8), c (2;-7;4), d (16;14;27).

10. а (7;2;1), b (4;3;5), с (3;4;-2), d (2;-5;-13)

11. а (4;1;0) b (0; 1; -2) с (3;-1;1), d (-5; 9; -13)

12. а (-1;1;0) b (0; 5; 1) с (3;2;-1), d (-15; 5; 6)

13. а (1;3;0) b (1; 0; 1) с (0;-2;1), d (8; 9; 4)

14. а (2; 1; 0) b (1; -1; 0) с (-3;2;5), d (23; -14; -30)

15. а (2; 1; 0) b (1; 0; 1) с (4;2;1), d (3; 1; 3)

16. а (0; 3; 1) b (1; -1; 2) с (2;-1;0), d (-1; 7; 0)

17. а (1; -1; 2) b (3; 2; 0) с (-1;1;1), d (11; -1; 4)

18. а (1; 1; 4) b (-3; 0; 2) с (1;2;-1), d (-13; 2; 18)

19. а (0; -2; 1) b (3; 1; -1) с (4;0;1), d (0; -8; 9)

20. а (0; 1; 5) b (3; -1; 2) с (-1;0;1), d (8; -7; -13)

21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребром А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

21. А₁ (4;2;5), А₂ (0;7;2), А₃ (0;2;7), А₄ (1;5;0).

22. А₁ (4;4;10), А₂ (4;10;2), А₃ (2;8;4), А₄ (9;6;4).

23. А₁ (4;6;5), А₂ (6;9;4), А₃ (2;10;10), А₄ (7;5;9).

24. А₁ (3;5;4), А₂ (8;7;4), А₃ (5;10;4), А₄ (4;7;8).

25. А₁ (10;6;6), А₂ (-2;8;2), А₃ (6;8;9), А₄ (7;10;3).

26. А₁ (1;8;2), А₂ (5;2;6), А₃ (5;7;4), А₄ (4;10;9).

27. А₁ (6;6;5), А₂ (4;9;5), А₃ (4;6;11), А₄ (6;9;3).

28. А₁ (7;2;2), А₂ (5;7;7), А₃ (5;3;1), А₄ (2;3;7).

29. А₁ (8;6;4), А₂ (10;5;5), А₃ (5;6;8), А₄ (8;10;7).

30. А₁ (7;7;3), А₂ (6;5;8), А₃ (3;5;8), А₄ (8;4;1).

31. А₁ (1;3;6), А₂ (2;2;1), А₃ (-1;0;1), А₄ (-4;6;-3).

32. А₁ (-4;2;6), А₂ (2;-3;0), А₃ (-10;5;8), А₄ (-5;2;-4).

33. А₁ (7;2;4), А₂ (7;-1;-2), А₃ (3;3;1), А₄ (-4;2;1).

34. А₁ (2;1;4), А₂ (-1;5;-2), А₃ (-7;-3;2), А₄ (-6;-3;6).

35. А₁ (-1;-5;2), А₂ (-6;0;-3), А₃ (3;6;-3), А₄ (-10;6;7).

36. А₁ (0;-1;-1), А₂ (-2;3;5), А₃ (1;-5;-9), А₄ (-1;-6;3).

37. А₁ (5;2;0), А₂ (2;5;0), А₃ (1;2;4), А₄ (-1;1;1).

38. А₁ (2;-1;-2), А₂ (1;2;1), А₃ (5;0;-6), А₄ (-10;9;-7).

39. А₁ (-2;0;-4), А₂ (-1;7;1), А₃ (4;-8;-4), А₄ (1;-4;6).

40. А₁ (14;4;5), А₂ (-5;-3;2), А₃ (-2;-6;-3), А₄ (-2;2;-1).

41 - 60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 - 80. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

61.	а)	б)
в)	г)
62.	а)	б)
в)	г)
63.	а)	б)
в)	г)
64.	а)	б)
в)	г)
65.	а)	б)
в)	г)
66.	а)	б)
в)	г)
67.	а)	б)
в)	г)
68.	а)	б)
в)	г)
69.	а)	б)
в)	г)
70.	а)	б)
в)	г)
71.	а)	б)
в)	г)
72.	а)	б)
в)	г)
73.	а)	б)
в)	г)
	а)	б)
в)	г)
75.	а)	б)
в)	г)
76.	а)	б)
в)	г)
77.	а)	б)
в)	г)
78.	а)	б)
в)	г)
79.	а)	б)
в)	г)
80.	а)	б)
в)	г)

81 – 100. Найти производные данных функций.

81.		82.
83.		84.
85.		86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

101 - 120. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

101. у = 4х/(4+х²) 102. y = (x²-1)/(x² +1)

103. y = (x²+1)/(x²-1) 104. y = x²/(x-1)

105. y = x³/(x²+1) 106. y = (4x³+5)/x

107. y = (x²-5)/(x-3) 108. y = x⁴/(x³-1)

109. y = 4x³/(x³-1) 110. y = (2-4x²)/(1-4x²)

111. y = (1nx)/ 112. y = x

113. y = 114. y = x²-21nx

115. y = 1n (x²-4) 116. y = e^1/(2-x)

117. y = 1n (x²+1) 118. y = (2+x²)

119. y = 1n (9-x²) 120. y = (x-1)e^3x+1.

121 - 140. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах а) и б) проверить результаты дифференцированием.

121.

122.

123.

124. ;

125. ;

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134. ;

135. ;

136.

137.

138.

139.

140.

141. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х² + 1 и

прямой у = 3х + 7.

142. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоды

х = а(t - sin t), y = a(1 - cos t), и осью Ох.

143. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r = 3(1 + cos φ).

144. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r = 4sin 2φ.

145. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = .

146. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у = , параболой х = и осью Оу.

147. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у = 2/(1 + х²)⁴ и у = х².

148. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = от точки А (2;0) до точки В (6;8).

149. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 - cosφ).

150. Вычислить длину одной арки циклоиды х = 3(t - sint), y = 3(1 - cost), .

151. Вычислить длину дуги

152.. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных графиками функций . Ось вращения

153. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

154. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

155. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

156.. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

157.. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах

158. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций . Ось вращения

159. Вычислить длину дуги

160. Вычислить длину дуги

161 - 180. Найти общее решение дифференциального уравнения.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

В задачах 181 - 200 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

181. у΄΄- е^уу΄= 0, у(0) = 0, у΄(0) = 1.

182. у΄у΄΄= 2у, у(0) = 0, у΄(0) = 0.

183. уу΄΄= (у΄)², у(0) = 1, у΄(0) = 3.

184. у³у΄΄= 3, у(1) = 1, у΄(1) = 1.

185. у΄΄-12у²= 0, у(0) =1/2, у΄(0) = 1.

186. 2у΄΄=е^4у, у(0) = 0, у΄(0) = ½.

187. (у – 2)у΄΄ = 2(у΄)², у(0) = 3, у΄(0) = 1.

188. 2уу΄΄= 3 + (у΄)², у(1) = 1, у΄(1) = 1.

189. у΄΄= у(2) = 0, у΄(2) = 2.

190. (у + 1)²у΄΄= (у΄)³, у΄(0) = 1.

201 - 220. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=у₀,

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

211. y΄΄-2y΄-8y=16x²+2, y(0)=0, y΄(0)=5.

212. y΄΄+4y=3cos x, y(0)=1, y΄(0)=2.

213. y΄΄-y΄-2y=3e^2x, y(0)=2, y΄(0)=5.

214. y΄΄-2y΄=2x+1, y(0)=1, y΄(0)=1.

215. y΄΄-2y΄+y=9e^-2x+2x-4, y(0)=1, y΄(0)=1.

216. y΄΄-4y=4sin 2x, y(0)=2, y΄(0)=7.

217. y΄΄+y΄=3cos x – sin x, y(0)=0, y΄(0)=1.

218. y΄΄-y΄-6y=6x²-4x-3, y(0)=3, y΄(0)=5.

219. y΄΄-3y΄=3e^3x, y(0)=2, y΄(0)=4.

220. y΄΄-4y΄+5y=5x – 4, y(0)=0, y΄(0)=3.

361. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

362. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acos t, y = bsint.

363. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = 4cos³t, y = 4sin³t.

364. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой , х = 4 и осью Ох.

365. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой у = 6/х, осью Оу и прямыми у = 1 и у = 6.

366. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса х = аcost, y = bsint.

367. Найти длину дуги кривой от х₁ = 0 до х₂ = 12.

368. Найти длину дуги кривой у = lnx от х₁= ¾ до х₂ = 2,4.

369. Найти длину одной арки циклоиды х = а(t - sint), y = a(1-cost).

370. Найти длину кардиоиды r = 2a(1-cosφ).

221 - 240. Исследовать сходимость числового ряда.

221.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

240 - 260. Найти интервал сходимости степенного ряда.

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250.

261 - 280. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

261.

262.

263.

264.

265.

266.

267.

268.

269.

270.

281. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

282. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили неудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

283. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производили по одному выстрелу по одной и той же целию Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

284. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

285. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устойство; б) только два устройства; в) все три устройства.

286. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

287. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

288. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

289. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8, - если на втором станке, и 0,9, - если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

290. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

301 - 320. Задан закон распределения случайной величины X – размер деталей, выпускаемых заводом (в первой строке таблицы даны возможные значения измеренной детали, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .