Задания для выполнения лабораторных работ. Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива

Вариант 1.

Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каж­дом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Продукт	Химические добавки, мг/л
X	Y	Z
A
B

Стоимость продукта А — 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В — 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Вариант 2.

"Princetown Paints Ltd" выпускает три основных типа румян — жидкие, перламутро­вые и матовые — с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (ф. ст.).

	Румяна
Жидкие	Перламутровые	Матовые
Цена продажи на 100 л
Издержки производства на 100 л:
Стоимость сырья
Стоимость трудозатрат
Стоимость приготовления смеси
Другие издержки

Стоимость 1 чел.-ч составляет 3 ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси -4 ф. ст. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч. в неделю.

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна — 29000 л в неделю.

Требуется: определить оптимальные объемы производства в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли, и соответствующее значение прибыли.

Вариант 3.

Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов. Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.

Завод	Транспортные издержки, ф. ст. за единицу Торговый склад	Предложение т
1	2	3	4	5
A
B
C
Потребность, т

Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на декабрь.

Вариант 4.

Администрация деревоперерабатывающего предприятия "Vibra" приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице:

Работник	Время выполнения, ч
Работы 1	Работы 2	Работы 3	Работы 4	Работы 5
М1
М2
М3
М4
М5

Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это нужно сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?

4. МЛТ. Метод искусственного базиса

Цель лабораторной работы - расширить и углубить практические знания и навыки при постановке и решении задач линейного программирования (метод искусственного базиса).

Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных Ri со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).

После выполнения работы студент должен:

ЗНАТЬ:

- основные приемы работы с системой, если система не имеет предпочитаемого вида.

УМЕТЬ:

- решать системы линейных алгебраических уравнений, не имеющих предпочитаемый вид.

- делать симплекс - преобразования.

ВЛАДЕТЬ:

- навыками использования универсальных и специализированных компьютеров (машин баз данных), аппаратным путём реализующих функции реляционной алгебры.

Пример.

Целевая функция:

2x1-x2+7x3+11x4+5x5→min

Условия:

2x1+5x3+x4+8x5=12

-3x1+6x2+2x3-2x4≤5

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак "≥", то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:

2x1+5x3+x4+8x5+R1=12

-3x1+6x2+2x3-2x4+X6=5

Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции.

Так как среди исходного набора условий было равенство (первое условие) мы ввели искусственную переменную R1. Это значит, что в симплекс таблицу нам необходимо добавить дополнительную строку M, элементы которой расчитываются как сумма соответствующих элементов условий-равенств (тех которые после приведения к каноническому виду содержат искусственные переменные R) взятая с противоположным знаком.

Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение В строке M имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке M максимальный по модулю отрицательный элемент - это -8 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является R1, а ведущий элемент: 8.

В строке M отрицательные элементы отсутствуют. Рассмотрим строку F в которой имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -1 Ведущей строкой будет та для которой положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X6, а ведущий элемент: 6.

Так как исходной задачей был поиск минимума, оптимальное решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. Найдено оптимальное решение F=6.667 при значениях переменных равных: X5=1.5, X2=0.833.