Обобщенное равновесие в условиях неопределенности

Определение 6. Ситуация называется активным -равновесием коалиционной игры в условиях неопределенности (2), если для любой стратегии существует стратегия контркоалиции такая, что

. (21)

Определение 7. Ситуация называется обобщенным равновесием коалиционной игры в условиях неопределенности (2), если для любой коалиции ситуация является активным -равновесием игры (2).

Гарантирующее свойство обобщенного равновесия игры (2) может быть сформулировано в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть - обобщенное равновесие коалиционной игры в условиях неопределенности (2). Тогда для любой коалиции и любой гарантирующей стратегии относительно конуса доминирования имеет место

. (22)

Доказательство. Предположим, что существует коалиция и , для которых выполняется включение

. (23)

С учетом свойства обобщенного равновесия для указанного существует стратегия контркоалиции , для которых

. (24)

С другой стороны, по определению, для любой коалиции справедливо

, (25)

а следовательно (25) выполняется для отдельного элемента :

. (26)

С учетом предположения (23) и на основании (26) имеем:

. (27)

В то же время, по определению,

. (28)

Следовательно, на основании (5), (6)

. (29)

Получили противоречие между (29) и (24).

Теорема доказана.

Смысл утверждения теоремы 2 состоит в том, что значения векторных показателей эффективности коалиций в ситуации обобщенного равновесия в условиях неопределенности не хуже их гарантированных значений относительно конусов доминирования , т.е. гарантированная стратегия любой коалиции в условиях неопределенности не является -доминирующей по отношению к ситуации обобщенного равновесия игры (2).

Замечание 2. Равновесие относительно системы конусов доминирования в условиях неопределенности является частным случаем обобщенного равновесия игры (2).