Несогласованное взаимодействие подсистем

В предположении, что , коалиционная структура (каждая коалиция состоит из одного, -го игрока), - скалярный показатель эффективности -го игрока, постановка (1.9) представляет собой бескоалиционную игру без неопределенности:

. (1.34)

Содержательно бескоалиционная игра сводится к независимому выбору каждым из участников некоторой своей стратегии с последующим вычислением значения целевого функционала .

Одним из основных принципов оптимальности, используемых при исследовании бескоалиционных игровых моделей, является принцип равновесия по Нэшу.

Определение 1.15, [Воробьев]. Ситуация называется равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре (1.34), если для любого игрока и любой его стратегии выполняется неравенство

, (1.35)

где .

Данный принцип оптимальности достаточно глубоко проработан теоретически [Указатели 1, 2, Воробьев, Мулен, Жуковский] и отражает следующие фундаментальные свойства равновесных по Нэшу решений.

1. Устойчивость по отношению к отклонению от ситуации равновесия отдельных участников конфликта. При этом в равновесиии по Нэшу участник рассматривает стратегии , как экзогенно заданные и минимизирует целевую функцию на множестве своих стратегий , обеспечивая наилучший ответ на стратегии , .

2. Индивидуальная рациональность. То есть равновесное решение обеспечивает участникам значения показателей эффективности не хуже гарантированных, получаемых при выборе ими минимаксных стратегий. При этом гарантирующая стратегия является правилом осторожного поведения при минимальной информированности участника конфликта, когда его информация ограничена только знанием множеств стратегий партнеров и своего целевого функционала.

3. В случае бескоалиционной игры двух лиц с нулевой суммой получаем антагонистическую игру, в которой седловая точка совпадает с равновесием по Нэшу. Таким образом, понятие равновесия по Нэшу включает в себя, как частный случай, общепринятое понятие решения антагонистической игры.

Выделение ситуаций равновесия по Нэшу в качестве претендентов на оптимальное поведение представляется достаточно естественным, однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что они обладают рядом негативных свойств, затрудняющих их практическое применение. К числу таких свойств можно отнести следующие.

1. Как правило, имеет место неединственность равновесных по Нэшу решений. При этом множество равновесий по Нэшу не является, вообще говоря, внутренне устойчивым. То есть может случиться так, что одна ситуация равновесия предпочтительна одним игрокам, а другая – другим. Поэтому при выборе равновесных стратегий необходим предварительный обмен информацией между участниками о том, какую конкретную ситуацию равновесия по Нэшу они собираются реализовывать. Это обстоятельство «ослабляет» бескоалиционные характер исходной постановки.

2. Ситуации равновесия по Нэшу, вообще говоря, улучшаемы. То есть могут существовать ситуации, не обязательно равновесные, обеспечивающие улучшение всех компонентов векторного показателя ССС относительно равновесной по Нэшу ситуации.

Несмотря на указанные негативные особенности, равновесие по Нэшу рассматривается в современной литературе, как базовый принцип оптимальности, а бескоалиционные игры - как базовый класс теоретико-игровых моделей, являющийся отправной точкой для методологических и практических обобщений, а также построения более общих концепций равновесия [Нэш,Воробьев, Мулен, Жуковский, ].

В настоящее время существует множество различных подходов к построению альтернативных концепций равновесия [Мулен, Харшаньи, Воробьев, Кукушкин, Морозов, Воронов, Смольяков, Вилкас, Жуковский, Куржанский, Моисеев]. В основе предлагаемых подходов лежит тезис о структурной неэффективности равновесия по Нэшу и необходимости информационного расширения исходной бескоалиционной постановки задачи, отражающего возможность той или иной степени кооперации участников конфликта и, как следствие, появление дополнительной информации в процессе функционирования ССС [Мулен, Харшаньи,Кукушкин, Морозов]. Информационное расширение дает возможность описывать отдельные игровые модели и принципы оптимальности, возникающие при фиксации тех или иных схем информацинного обмена, а также их взаимосвязи. В итоге, как отмечается в [Харш], фактически происходит объединение теории кооперативных и бескоалиционных игр в одну общую теорию. В частности, при анализе бескоалиционных игр удобно рассматривать не только отдельных игроков, но и их коалиции. При этом объединение игроков в коалиции носит чисто теоретико-множественный характер, их действия и интересы независимы, а стратегические возможности и интересы каждой из коалиций являются некоторыми конструкциями стратегических возможностей и интересов входящих в них игроков [Воробьев, Жуковский, Смольяков, Вилкас].

В работах [Берж, Жук, Чикрий] исследуется равновесие по Бержу в сравнении с равновесием по Нэшу. Показывается, что, как и равновесие по Нэшу, равновесие по Бержу обладает свойствами устойчивости и индивидуальной рациональности. Вместе с тем, равновесие по Бержу имеет некоторые преимущества перед равновесием по Нэшу, связанные с условиями его существования и более «бескоалиционным характером», в большей степени соответствующим реальным условиям взаимодействия конфликтующих сторон в бескоалиционных игровых моделях.

В [Жук, Чикрий] формулируется понятие равновесия угроз и контругроз (УКУ) для бескоалиционной игры вида (1.34), основанное на известной в классической теории игр концепции УКУ и впервые примененной к дифференциальным играм в [Вайсборд].

Определение 1.16, [Ж,Чикрий]. Пусть в игре (1.34) фиксирована некоторая ситуация . Будем считать, что игрок обладает угрозой на , если у него существует стратегия такая, что

. (1.36)

Определение 1.17, [ Ж- Чикрий]. Будем говорить, что в игре (1.34) в ответ на угрозу игрока у игрока , имеется контругроза, если найдется стратегия игрока , такая, что

, (1.37)

. (1.38)

Определение 1.18, [Ж-Чикрий]. Ситуация называется равновесием УКУ для игры (1.34), если в ответ на всякую угрозу любого игрока хотя бы у одного из оставшихся имеется контругроза. Далее множество равновесий УКУ будем обозначать, как .

В [Ж,1985, англ.] сформулировано понятие активного равновесия.

Определение 1.19, [Ж, Ч]. Ситуация называется активным равновесием (АР) в игре (1.34), если имеют место следующие свойства.

1. Активная равновесность. Для любого игрока и любой стратегии существует набор такой, что

. (1.39)

2. Оптимальность по Парето. Ситуция оптимальна по Парето для игры (1.34).

АР, как и равновесие по Нэшу, обладает свойствами устойчивости и индивидуальной рациональности. Кроме того, АР имеет перед равновесием по Нэшу ряд преимуществ [Ж-Ч]:

- АР оптимально по Парето, т.е. в определенной степени учитывает коллективные интересы игроков;

- множество АР внутренне устойчиво;

- АР может существовать и в случае отсутствия равновесия по Нэшу.

В работах Смольякова Э.Р. [] развивается направление, в основе которого лежит идея построения базовой системы симметричных конфликтных равновесий. Отправной точкой в формируемой иерархии понятий равновесия (A -, B -, C -, D -равновесия и др.) служит А -равновесие, являющееся аналогом АР. Однако в отличие от АР в определении А -равновесия отсутствует требование оптимальности по Парето. При этом доказывается, что множество А -равновесий задачи (1.34) всегда имеет непустое пересечение с множеством Парето:

, (1.40)

откуда следует, что требование оптимальности по Парето для АР является излишним.

В [Смольяков] формулируются условия существования А -равновесия. Доказывается, что множество А -равновесий в задаче (1.34) практически всегда не пусто, и «игровая задача всегда имеет равновесие, в качестве которого может быть взято одно из наисильнейших среди существующих в задаче. Для того. чтобы любая задача имела единственное решение, необходимо располагать достаточно богатой базовой системой равновесий, поиск которой, однако, к настоящему времени не завершен».

Между множествами решений, оптимальных по Парето, равновесий по Нэшу, равновесий УКУ, АР, А -равновесий соответственно существует следующая взаимосвязь [Смольяков, Ж-Чикрий]:

, (1.41)

, (1.42)

. (1.43)

Включения (1.41), (1.42) означают, что А -равновесие обладает свойством «полноты» в том смысле, что включает в себя, как частные случаи, равновесие по Нэшу, равновесие УКУ, АР. Свойство (1.43) означает, что из множества А -равновесий всегда можно выделить подмножество решений, обладающих одновременно свойствами стабильности и эффективности.

Таким образом, понятие А -равновесия с одной стороны, обобщает концепцию УКУ, а с другой стороны, позволяет «примирить» два в определенном смысле противоположных теоретико-игровых направления – бескоалиционное и кооперативное.

В [Смольяков ] также поддерживается тезис о необходимости и целесообразности построения информационных расширений исходной бескоалиционной постановки задачи, как инструмента расширения базовой системы равновесий «за счет возможности образования всевозможных коалиций».

Дальнейшее развитие…… В работах Воронова Е.М. [] сформулированы основы теории стабильно-эффективных игровых компромиссов в задачах оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами (ММС). Исследуется взаимосвязь свойств стабильности и эффективности в различных теоретико-игровых моделях оптимизации управления ММС, предложено множество вариантов формирования СТЭК, обеспечивающих поиск оптимальных решений с заданными свойствами.

Отдельное актуальное направление составляют работы, посвященные исследованию бескоалиционных игровых моделей в условиях неопределенности [].

[]-стохастич игры, [Ж, Макаркина, Ж-Ж, ]. [Смольяков]-многозначные игры.