Понятие устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

. (1)

Решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое, что для всякого решения системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

, (2)

имеет место неравенство

(3)

для всех .

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенство (3) не выполняется, то решение называется неустойчивым.

Если кроме выполнения неравенства (3) при условии (2) выполняется также условие

, (4)

то решение называют асимптотически устойчивым.

4.2. Устойчивость по первому приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

и пусть x i 0 (i= 1, 2, …, n) есть точка покоя системы (1), т.е.

Будем предполагать, что функции fI (x1, x2, …, x n) дифференцируемы вначале координат достаточное число раз.

Разложим функции fi по формуле Тейлора по x-ам в окрестности начала координат. Получим

(2)

где , а – члены второго порядка малости относительно x1, x2, …, xn.

Вместо точки покоя системы (1) исследуем на устойчивость ту же точку покоя линейной системы

(3)

называемую системой уравнений первого приближения для системы (1). В этом и состоит метод исследования на устойчивость системы (1) по первому приближению. Говорят, что система (2) стационарна в первом приближении.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если все корни характеристического уравнения

, (4)

имеют отрицательные вещественные части, то нулевые решения системы (3) и системы (2) асимптотически устойчивы.

2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (2) неустойчиво.

3. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения (4) неположительны, причем вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, то исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно (начинают влиять нелинейные члены ).

Теорема 24. Если система уравнений (2) стационарна в первом приближении, все функции удовлетворяют условиям первого утверждения и хотя бы один из корней характеристического уравнения (4) имеет положительную действительную часть, то точки покоя системы (2) и системы (3) неустойчивы, т. е. и в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

4.3. Критерий Рауса – Гурвица

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами

(1)

где .

Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения

(2)

имеют отрицательные вещественные части.

Критерий Рауса – Гурвица. Для того, чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

(3)

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и кончая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими n или меньшими 0, полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид:

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнение (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

(4)

Так как , условие может быть заменено требованием .

Вычисления можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор матрицы Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры Затем начинаем вычислять и т.д. последовательно. Если встретился отрицательный минор, решение не устойчиво и дальнейший расчет не нужен.

Если коэффициенты уравнения (2) заданы как числа, то условия (4) легко проверяются. Если же коэффициенты уравнения (2) содержат буквенные параметры, то вычисление определителей при больших затруднительно.

Можно показать, что если условия (4) выполнены, то все коэффициенты многочлена (2) положительны:

. (6)

Как уже отмечалось, условия (6) являются необходимыми, но не достаточными для того, чтобы все корни располагались в левой полуплоскости . Однако, при выполнении условий (6) неравенства (4) уже не являются зависимыми. Так, например, при условия Рауса – Гурвица приводятся к двум неравенствам: . Это позволило Льенару и Шипару установить другие условия устойчивости, в которых число детерминантных неравенств примерно вдвое меньше, чем в условиях (4).

Условия Льенара – Шипара. Для того, чтобы многочлен

имел все корни с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы:

1) все коэффициенты многочлена были положительны:

,

2) имели место детерминантные неравенства

(здесь, как и раньше, - определитель Гурвица -порядка).

4.4. Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами

. (1)

Его характеристическое уравнение

. (2)

Критерий Михайлова позволяет вопрос об устойчивости решения д.у. (1) свести к вопросу о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости. Последний решается следующим образом.

Полагая , получим:

, (3)

где

(4)

Величину при заданном значении параметра можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с началом в начале координат (рис. 5). При изменении в интервале конец этого вектора опишет некоторую кривую, каждая точка которой соответствует определенному значению , – так называемую кривую Михайлова для многочлена .

Рис. 5.

Оказывается, что по очертанию кривой Михайлова можно судить о знаках вещественных частей корней многочлена . Обозначив корни многочлена через , запишем его в виде

Выражение для кривой Михайлова в этом случае будет

(5)

Рассмотрим комплексную плоскость . Легко видеть, что если корень лежит в левой полуплоскости (т.е. имеет отрицательную вещественную часть), то при изменении от до вектор повернется на угол (т.е. сделает пол-оборота против часовой стрелки, см. рис. 6).

Аналогично, если корень лежит в правой полуплоскости, то вектор повернется на угол (см. рис.7).

Рис. 6 Рис. 7

Подсчитаем теперь, на какой угол повернется вектор , если изменяется от до . Известно, что при перемножении комплексных чисел их аргументы складываются. Поэтому , согласно (5), выразится так:

где - угол поворота вектора .

Если многочлен степени имеет корней с положительными вещественными частями и корней с отрицательными, то

(6)

Так как функция четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра от 0 до . Тогда формула (6) примет вид:

(7)

Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, т.е. в формуле (7) должно быть .

Отсюда вытекает следующая формулировка критерия Михайлова. Для устойчивости тривиального решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы:

1) вектор при изменении от 0 до совершил поворот на угол , т.е. сделал оборотов против часовой стрелки,

2) годограф при изменении от 0 до не проходил через нулевую точку.

Поочередное прохождение квадрантов означает, что кривая поочередно пересекает оси координат. Следовательно, координаты и точек кривой Михайлова для устойчивости решения должны поочередно обращаться в нуль. Отсюда вытекает вторая формулировка критерия устойчивости Михайлова. Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо (а при условии, что кривая приходится против часовой стрелки – и достаточно), чтобы все корни уравнений были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. чтобы между любыми двумя корнями одного из этих уравнений находился корень другого уравнения.

4.5. Метод функций Ляпунова

Пусть имеем вещественную функцию вещественных переменных , однозначную, непрерывную в области и

обращающуюся в нуль, когда .

Функцию назовем знакопостоянной, если она принимает, кроме нулевых, значения только одного знака при достаточно большом и достаточно малом. Такие функции будем называть постоянно-положительными или постоянно-отрицательными. Например, функция является постоянно положительной (кроме нулевых, она принимает только положительные значения).

Если знакопостоянная функция не зависит от , а величина может быть выбрана столь малой, что только при , то функция называется знакоопределенной (определенно-положительная или определенно-отрицательная). Например, - определенно-положительная функция.

Знакоопределенная функция , зависящая явно от , называется знакоопределенной, если найдется такая не зависящая явно от знакоопределенная функция , что одно из двух выражений или представляет постоянно-положительную функцию. Так, например, функция - определенно-отрицательная (для нее ).

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

Вопрос об устойчивости тривиального решения системы (1) может быть решен с помощью следующих теорем.

Теорема 25 (Теорема А. М. Ляпунова об устойчивости). Если дифференциальные уравнения (1) таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с или тождественно равной нулю, то тривиальное решение устойчиво.

Производная , взятая в силу системы (1), имеет вид

.

Если ограниченная функция такова, что для всякого , как бы оно мало ни было, найдется такое число , что при и будет выполняться неравенство , то говорят что допускает бесконечно малый высший предел.

Замечание. Всякая не зависящая явно от непрерывная функция допускает бесконечно малый высший предел.

Теорема 26 (Дополнение А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости.) Если знакоопределенная функция допускает бесконечно малый высший предел, а ее производная , составленная в силу системы (1), является знакоопределенной функцией противоположного знака, то тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Назовем областью какую-нибудь область окрестности начала координат пространства переменных , ограниченную поверхность , в которой функция принимает положительные значения.

Допустим, что функция обладает следующими свойствами:

1) при сколь угодно больших значениях в сколь угодно малой окрестности начало координат существует область ;

2) в области функция ограничена;

3) в области производная , составленная в силу системы (1), определенно-положительная.

Теорема 27 (Теорема Н. Г. Четаева о неустойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (1) можно найти функцию, удовлетворяющую условиям 1), 2), 3), то тривиальное решение этой системы неустойчиво.

Функции , фигурирующие в приведенных выше теоремах, называются функциями Ляпунова.

Замечание. Если в системе (1) все не зависят явно от , то функцию Ляпунова нужно искать как не зависящую явно от .