Иррациональные функции

а) Интегралы вида ,

где – рациональная функция и – целые числа.

Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки

,

где – общий знаменатель дробей (наименьшее общее кратное чисел ). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную.

Пример. Вычислить .

Положим ; тогда и

. ▲

б) Интегралы вида .

Подынтегральное выражение называют дифференциальным биномом.

Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная представляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894)):

1) если – целое число. В этом случае используют разложение на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

2) если – целое число. Тогда применяется подстановка , где – знаменатель дроби ;

3) если – целое число. В этом случае используется подстановка , где, по-прежнему, – знаменатель дроби .

Пример. Вычислить

.

Перепишем исходный интеграл

.

Это интеграл от дифференциального бинома, где ; . Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.

Подстановка дает: . Поэтому

,

где . ▲

в) Интегралы вида ,

где – рациональная функция.

Такие выражения всегда интегрируются в конечном виде. Один из возможных методов интегрирования состоит в следующем.

Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене и совершаем замену переменной по формуле ; после этого исходный интеграл сводится к одному из следующих трех типов:

1) , 2) , 3) .

Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической (или гиперболической) подстановки соответственно

1) или ,

2) или ,

3) или .

В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду или . Интегралы от гиперболических функций вычисляются аналогично интегралам от тригонометрических функций.

В частном случае, когда требуется вычислить интегралы вида

, и ,

можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:

.

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:

.

Тогда

.

Вернемся к исходному интегралу:

.

Из последнего равенства получаем

и, разделив обе части на два, найдем

.

Поступая аналогично для , получим

.

4. О «неберущихся» интегралах. Рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Не существует общего универсального метода интегрирования, поэтому этот раздел математики мало алгоритмичен. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров. Возникает вопрос о возможности вычисления интеграла от любой элементарной функции. Все элементарные функции дифференцируемы и их производные снова являются элементарными функциями. Об интегрировании функций это сказать нельзя. Существует немало элементарных функций, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции (говорят: «не интегрируются в конечном виде»), например:

.

Подчеркнем, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не являющиеся элементарными.

Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются экзотикой, придуманной математиками. На самом деле, именно «берущиеся» интегралы следует считать экзотикой; они представляют собой редкое исключение в многообразии «неберущихся» интегралов. К «неберущимся» интегралам приводят многие теоретические и практические задачи. Например, первый из приведенных интегралов возникает в задачах теории вероятностей и статистики, второй (относящийся к так называемым эллиптическим интегралам) – в задачах механики.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Назовем разбиением отрезка совокупность точек : . Точки () будем называть точками разбиения. В каждом из полученных отрезков разбиения выберем произвольную точку (). Символом обозначим разность ( – длина отрезка разбиения).

Образуем сумму

.

Эту сумму называют интегральной суммой (для) функции на , соответствующей данному разбиению отрезка и данному выбору промежуточных точек .

Для того чтобы выяснить геометрический смысл интегральной суммы , изобразим график функции на отрезке (рис. 1).

Рис. 1.

Ясно, что – это сумма площадей прямоугольников с основаниями , , …, и высотами , ,…, соответственно (рис. 1 сделан для случая, когда ). Очевидно также, что представляет собой приближенное значение площади криволинейной трапеции (рис. 1), и это приближенное значение тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка точками . При этом площадь -го прямоугольника на рис. 1 равна .

Обозначим через длину наибольшего отрезка разбиения, т.е. . Число назовем мелкостью разбиения отрезка .

Определение 1. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для всякого разбиения , у которого , выполняется неравенство при любом выборе промежуточных точек .

Определение 2. Функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , если существует конечный предел

.

При этом число называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается символом

.

Числа и называют нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, а – переменной интегрирования.

В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл представляет собой число, а не функцию. Если интеграл существует, то это число определяется однозначно и зависит только от вида функции и от чисел и . Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для переменной интегрирования:

и т.д.

Вычисление определенного интеграла в соответствии с приведенным определением связано с трудностями и громоздкими подсчетами. Поэтому чаще используют другие подходы, о которых будет говориться ниже.

Пусть функция является интегрируемой на отрезке функцией. В этом случае будем писать . Здесь обозначает множество всех интегрируемых на функций (вспомните, что представляют из себя множества и ).