Различные уравнения прямой линии в пространстве

Прямая в пространстве может быть получена в результате пересечения двух плоскостей, то есть задана аналитически системой двух уравнений первой степени с тремя переменными.

(5.1)

Уравнения (5.1) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве определено, если задана точка , через которую

z

проходит прямая, и направляющий вектор прямой .

x

Возьмем произвольную точку на прямой , векторы и коллинеарны, то есть

если направления векторов совпадают, то , в противном случае .

так как , то

(5.2)

это векторное уравнение прямой в пространстве, переходя от векторного уравнения к координатным уравнениям, получим

(5.3)

это параметрические уравнения прямой в пространстве, - параметр. Если исключить из уравнений (5.3) параметр, получим канонические уравнения прямой в пространстве

. (5.4)

Как перейти от общих уравнений прямой к каноническим?

1. Надо из системы (5.1) найти координаты точки, через которую проходит прямая. Так как система содержит два уравнения, а переменных три, одну из переменных нужно задать произвольным образом, например, , а две другие найти из системы.

2. Так как прямая лежит и в одной, и в другой плоскости, то векторы нормали этих плоскостей перпендикулярны направляющему вектору прямой, следовательно, , тогда

Пример. Даны общие уравнения прямой

Составить канонические уравнения этой прямой.

Решение. Найдем точку, через которую проходит данная прямая, для этого в системе положим , тогда решая систему, получим .

Теперь найдем координаты направляющего вектора:

,

составляем канонические уравнения прямой:

.

Пусть дана точка и прямая . Надо найти расстояние от точки до прямой.

Искомое расстояние – это высота параллелограмма, построенного на векторах и . Найдем площадь параллелограмма , тогда

.