БИЛЕТ 35

Возьмём теперь параболу, описываемую уравнением , и начнём её вращать вокруг оси Oz. В результате точка будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставив эти выражения в уравнение параболы, получим: - уравнение параболоида вращения. Если мы будем «сжимать» этот параболоид к плоскости xOz, то точка будет двигаться по эллипсу и уравнение параболоида примет вид .

Исследуем, наконец, гиперболу, описываемую уравнением . Если мы начнём вращать её вокруг оси z, то точка будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставив эти значения в уравнение гиперболы, получим: - уравнение однополостного гиперболоида вращения. «Сжимая» его к плоскости xOz, получим уравнение однополостного гиперболоида: .

Если же мы начнём вращать гиперболу вокруг оси Ox, то точка будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставив эти значения в уравнение гиперболы, получим: - уравнение двуполостного гиперболоида вращения. «Сжимая» его к плоскости xOz, получим уравнение двуполостного гиперболоида:

Теперь возьмём прямую, описываемую уравнением и начнём вращать её вокруг оси Oz. Тогда точка опять будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставив эти выражения в уравнение прямой, получим: или - уравнение конуса.

Поверхность, описываемая уравнением , называется гиперболическим параболоидом. Если расположить гиперболический параболоид так, как показано на рисунке, то сечение его плоскостью, параллельной xOy будет представлять собой гиперболу, причём если сечь плоскостью, параллельной xOy, сначала ниже самой плоскости xOy, сечение будет представлять собой одну гиперболу, то сечение плоскостью выше xOy – ей сопряжённую. Сечение плоскостью, параллельной zOy и xOz представляет собой параболу. Таким образом, гиперболический параболоид – это поверхность, которую образует одна парабола, двигаясь по другой параболе, расположенной относительно первой так, как показано на рисунке.