Билет 26

Прямую можно также задать как множество точек, общих для двух плоскостей системой уравнений вида , где оба уравнения представляют собой уравнения пересекающихся плоскостей. Чтобы перейти от этого вида к каноническому, достаточно найти одну точку, удовлетворяющую этому неравенству и взять её как точку и положить .

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Пусть и - уравнения прямых и . Тогда и - направляющие векторы этих прямых. Поместим на прямую , а начало совместим с началом . На трёх векторах , и построим параллелепипед. Расстояние между прямыми будет равно высоте полученного параллелепипеда: .

Пусть даны канонические уравнения двух прямых и . Если , то , иначе и либо пересекаются, либо скрещиваются. В этом случае достаточно вычислить смешанное произведение направляющих векторов этих прямых и вектора, соединяющего эти прямые. Если оно не равно нулю, то прямые скрещивающиеся, иначе – пересекающиеся.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.