Доказательство. Теорема

Последовательность высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода, называется доказательством. Высказывание, которое можно доказать, называется теоремой.

Как было указано выше, опыт проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы математики оказываются согласными с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Каждая теорема может быть выражена в формализованной математической форме вида:

(читается: «для любого элемента х из А(х) следует В(х), где х принадлежит множеству М»).

Посылка А называется условием теоремы, а следствие В – заключением. Теорема верна, если выражающая её логическая связка (импликация (читается: «из А следует В», или «если А, то В»)) обеспечивает истинное высказывание.

Рассмотрим примеры.

Теорема 1. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3.

Теорема 2. Если четырёхугольник является прямоугольником, то его диагонали конгруэнтны.

Теорема 3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из-за краткости формулировки теоремы 3 о диагоналях ромба может показаться, что эта теорема не имеет формы . На самом деле это не так. Полная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны): «Для любого параллелограмма верно утверждение: если параллелограмм – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны».