Аксиома. Аксиоматический метод

Основные понятия. Определение.

В любой науке, в математике тоже, существуют некоторые понятия, которые мы принимаем за начальные. Это так называемые основные понятия, определить которые достаточно сложно (именно потому, что они основные) и содержание которых можно выяснить только из опыта. Таковы, например, понятия: точки в геометрии, прямой в планиметрии, плоскости в стереометрии, материи в физике, информации в информатике.

Все остальные понятия мы выясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называются определениями. Таким образом, каждое математическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определённые прежде.

Однако здесь, как указано в справочнике по элементарной математике М.Я. Выгодского[1], невозможно обеспечить всеобщего согласия. Дело в том, что одно и тоже, например, геометрическое понятие можно определять различно. Диаметр окружности, например, можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое.

Отметим, что предпочтительно брать за определение простейшее свойство.

Аксиома. Аксиоматический метод.

При построении любой теории выделяется некоторый набор высказываний, истинность которых постулируется. Такие принимаемые без доказательства высказывания, называются аксиомами (например, в физике – аксиома о том, что не возможна скорость больше скорости света в вакууме).

Аксиомы возникли из опыта (см. пример о скорости света), и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности.

Аксиоматический метод – это способ построения научной (в данном случае – математической) теории, основу которого составляют некоторые исходные положения (аксиомы), а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом.