Анализ цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости

При последовательном соединении пассивных элементов электрической цепи(рис.3) ток i во всех элементах одинаков, а напряжения различны.

Рис. 3. Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Запишем второе уравнение Кирхгофа для мгновенных значений (1), учитывая, что роль ЭДС играет напряжение источника питания u, и выразим напряжение на элементах uR, uL, uC через ток (2):

uR + uL + uC = iR + Ldi/dt + uC= 1/C∫idt = U

Предположим, что по цепи протекает синусоидальный ток:

i = sinω t. (3)

Тогда мгновенные напряжения на элементах:

uR =Ri = R sinω t = U R sinω t, (4)

uL =Ldi/dt = ω L cosω t = UL sin(ω t +π/2), (5)

uc= 1/C∫idt = cosω t = Uc sin(ω t- π/2 ). (6)

Отсюда вытекают следующие формулы для определения действующих значений напряжений на элементах:

UR= IR, UL=I ω L=IXL, UC=I/ ω C=IXC, (7)

где XL= ω L - индуктивное сопротивление,

XC=1/ ω C - емкостное сопротивление.

Как видно из (4), (5), (6), напряжения на элементах изменяются по синусоидальному закону. Сумма нескольких синусоид также является синусоидальной величиной, поэтому для напряжения питания можно записать:

u = . (8)

Графики мгновенных значений тока и напряжений, построенные по (3), (4), (6), (8), показаны на рис. 4.

Рис.4. Графики мгновенных значений тока и напряжений для последовательной цепи.

В выражении (8) для напряжения питания неизвестными величинами являются действующее значение U и сдвиг фаз φ. Наиболее легко эти величины определить из векторной диаграммы (рис.5).

Рис.5. Векторная диаграмма для последовательной цепи при XL> XC

Построение начинаем с вектора тока как общего для всех элементов. Затем строим векторы напряжений на сопротивлении UR, индуктивности UL и емкости UC. Длины этих векторов определяются по формулам (7). Сдвиг фаз между этими векторами и вектором тока определяется из сравнения фаз тока и напряжений. Сравнивая фазы тока(3) и напряжения на сопротивлении (4), определяем, что в сопротивлении ток совпадает по фазе с напряжением. Сравнивая фазы тока (3) и напряжения на индуктивности (5), определяем, что в индуктивности ток отстает по фазе от напряжения на угол 90° или во временных единицах на четверть периода. Аналогично определяем, что в емкости ток опережает по фазе напряжение (6) на угол 90° или на четверть периода. В соответствии со вторым уравнением Кирхгофа в векторной форме вектор напряжения питания Ū равен сумме векторов напряжений на пассивных элементах: Ū= ŪR+ ŪL+ ŪC.

Из диаграммы на рис. 5 можно выделить прямоугольный треугольник oab и применить к нему теорему Пифагора:

U = =

Из этого выражения получаем соотношение между действующими значениями тока и напряжения питания, аналогичные закону Ома:

I= U/Z, (9)

где

ž = = . (10)

Здесь ž - полное сопротивление цепи;

R- активное сопротивление цепи;

X - реактивное сопротивление цепи.

Сдвиг фаз между током и напряжением питания φ находится из треугольника oab через тригонометрические функции:

tgφ= (UL- UC)/UR= (XL- XC)/R, cosφ= R/ ž, sinφ= (XL- XC)/ ž. (11)

П р и м е р. В цепи на рис.3 R =8 Ом, L = 12.73 мГн, C = 318.5 мкФ, U = 220 В, f = 50 Гц. Записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения питания, полагая начальную фазу напряжения равной нулю.

Решение.

Угловая частота ω= 2πf = 2∙3.14∙50= 314 рад/с;

индуктивное сопротивление XL = ω L = 314∙12.73∙10-3= 4 Ом;

емкостное сопротивление XC = 1/ω С = 1/314∙318,5∙10-6= 10 Ом;

полное сопротивление ž= = = 10 Ом;

действующее значение тока I= U/Z= 220/10= 22 А;

сдвиг фаз tgφ= X/R =(4-10)/8= -0.75, φ≈37°;

мгновенные значения напряжения и тока

u = 310sin314 t, i = 31sin(314 t +37°).

3.5. Резонанс напряжений

В электрической цепи на рис.3 может быть такой режим, когда, несмотря на наличие емкости и индуктивности, ток и напряжение питания совпадают по фазе, то есть цепь ведет себя как активное сопротивление. Такой режим называется резонансом напряжений. Условия резонанса:

φ=0, tgφ=0, XL-XC= 0, XL=XC.

Отсюда получаем формулу для определения частоты тока, при которой наблюдается резонанс:

ωрез= .

Режим резонанса наиболее наглядно выделяется на частотных характеристиках. Если при неизменных напряжении питания U и параметрах R, L, C изменять частоту ω, то будут изменяться индуктивное XL и емкостное XC сопротивления, а вслед за ними полное сопротивление ž и ток в цепи. Частотные характеристики для сопротивлений приведены на рис.6. Кривая для ž построена по (10).

Рис.6 Частотные характеристики последовательной цепи для сопротивлений.

Активное сопротивление можно считать неизменным, не зависящим от частоты, если пренебречь поверхностным эффектом, который заметен при высоких частотах и массивных проводниках. Индуктивное сопротивление XL прямо пропорционально частоте, а емкостное XC - обратно пропорционально частоте. Если частота стремиться к нулю, то XC стремится к бесконечности, а XL ─к нулю. Вслед за XC к бесконечности стремится полное сопротивление ž. Если частота стремится к бесконечности, то XL стремится к бесконечности, а XC ─ к нулю. Вслед за XL к бесконечности стремится полное сопротивление ž. При XL=XC (резонанс) сопротивление ž минимально и равно ž = R. При ω<ωрез XL<XC и сдвиг фаз носит емкостный характер(ток опережает напряжение на угол φ), при ω>ωрез XL>XC и сдвиг фаз носит индуктивный характер(ток отстает по фазе от напряжения на угол φ).

На рис.7 приведены частотные характеристики цепи для тока и напряжений на индуктивности и емкости. В соответствии с (9) зависимость I=f( ω ) обратна зависимости ž=f( ω ). При резонансе ток в цепи максимален при неизменных значениях U, R, L, C. Зависимости UL= f(ω) и UC= f(ω) можно построить по формулам:

UC=I XC = XCU/ž; UL=IXL= XLU/ž.

Как видим, напряжения UL и UC тоже достигают максимального значения, но это происходит при других частотах. В режиме резонанса XL=XC, поэтому UL= UC, то есть напряжения на емкости и индуктивности равны между собой.

Рис.7. Частотные характеристики последовательной цепи для тока и

напряжений на емкости UC и индуктивности UL

Определим индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе:

XL рез = XC рез = ω рез L=L = = ρ.

Величина ρ зависит только от параметров цепи и называется волновым сопротивлением. Оценим величину напряжений на емкости и индуктивности в режиме резонанса:

UL рез = UC рез = I рез XL рез = ρU/R= UQ,

где Q= ρ /R - добротность цепи.

Если ρ> R, то Q >0 и UL рез = UC рез > U, то есть на емкости и индуктивности напряжение может значительно превышать напряжение питания.