 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Изображение синусоидальной функции времени вектором и комплексным числом
|
|
Для упрощения анализа и расчета цепей синусоидального тока пользуются изображением синусоидальной функции времени, вектором или комплексным числом. Между синусоидальной функцией и ее изображением должно существовать строго однозначное соответствие. При таком методе расчета действия над реальными синусоидальными функциями заменяются действиями над их изображениями- векторами или комплексными числами, так как операции над изображениями производятся легче, чем над реальными величинами. В результате расчета находится изображение искомой величины, а затем с помощью обратного перехода по этому изображению находится искомая величина.
Вектор, соответствующий данной синусоиде, строится для момента времени t = 0. Длина вектора равна действующему значению синусоиды, угол наклона вектора к горизонтальной оси равен начальной фазе синусоиды(положительный угол откладывается против часовой стрелки). Вектор, изображающий данную синусоиду, обозначается большой (прописной) буквой с чертой: Ū, Ī, Ē и называется "вектор напряжения", "вектор тока", "вектор ЭДС". Совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции одинаковой частоты с учетом взаимного сдвига по фазе, называется векторной диаграммой. На векторной диаграмме угол между векторами равен сдвигу фаз между соответствующими синусоидальными величинами.
Если вектор расположен на комплексной плоскости, то этому вектору, а следовательно, и синусоидальной функции, можно привести в соответствие комплексное число (рис. 2). Комплексное число, изображающее данную синусоиду, обозначается большой (прописной) буквой с точкой: İ, Ů, Ė и называется "комплекс тока", "комплекс напряжения", "комплекс ЭДС". Предположим, задана синусоида тока:
i= 
sin(ω t + ψ).
Построим соответствующий вектор на комплексной плоскости (рис.2):
Рис.2. Изображение синусоиды вектором и комплексным числом
Спроектируем вектор на оси ординат: Ia = Ic osψ, Iρ = I sinψ и запишем комплексное число(комплекс тока):
İ = I a+ jI ρ= 
= I (cosψ+ j sinψ).
В этом выражении Ia - проекция вектора на действительную ось(+1), равная действительной части комплексного числа, Iρ - проекция вектора на мнимую ось(+ j), равная мнимой части комплексного числа, j = 
- мнимая единица. Из теории комплексных чисел известно, что I= 
называется модулем комплексного числа, а ψ = arctg I ρ/ I a- его аргументом. Отсюда следует соответствие между комплексным числом и синусоидой: модуль комплексного числа равен действующему значению синусоиды, аргумент ─ ее начальной фазе.
3.3. Законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока
Физические процессы в электрических цепях переменного тока отличаются от процессов в цепях постоянного тока. Это в первую очередь связано с влиянием индуктивности и емкости. Переменный ток в индуктивности создает переменное магнитное поле, которое в свою очередь создает ЭДС самоиндукции, влияющую на величину тока; переменное напряжение на емкости приводит к появлению переменного электрического заряда и протеканию тока через емкость. Эти факторы необходимо учитывать при анализе цепей переменного тока. Большое влияние на процессы оказывают также частота тока f и сдвиг фаз между током и напряжением φ. Необходимо также учитывать, какие значения токов и напряжений используются при анализе (мгновенные, действующие и т.д.).
Поскольку законы Кирхгофа справедливы для любого момента времени, то их можно записать для мгновенных значений величин:
∑ iк =0, ∑ uк= ∑ eк. (1)
Формулировки звучат так: в узле алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю; в замкнутом контуре алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС в этом же контуре. В цепях переменного тока пассивными элементами являются сопротивление проводника R, индуктивность L и емкость C. Через ток эти напряжения можно выразить следующим образом:
uR=Ri, uL=Ldi/dt, uC= 1/C∫idt. (2)
При подстановке (2) во второе уравнение Кирхгофа (1) получим систему дифференциальных уравнений относительно токов.
В линейных цепях(R, L, C - постоянные величины) при синусоидальной ЭДС все токи и напряжения на участках также изменяются по синусоидальному закону. Поэтому все синусоиды, входящие в уравнения, можно заменить векторами или комплексными числами (п. 3.2) и получить уравнения Кирхгофа для векторов:
∑ Īк =0, ∑ Ūк = ∑ Ēк
или комплексов:
∑ İк =0, ∑ Ůк = ∑ Ėк.
При векторной записи вектор Ūк нельзя выразить через вектор тока Īк, и уравнения приходиться решать при помощи графических построений (векторных диаграмм). Такая форма записи используется при анализе простых цепей. При записи в комплексной форме можно ввести понятие комплексного сопротивления Z, которое определяется как отношение комплекса напряжения к комплексу тока:
Z=Ů/İ = R+ j X= ž e jφ,
где ž - модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;
R - действительная(вещественная) часть комплексного сопротивления или активное сопротивление;
X - мнимая часть комплексного сопротивления или реактивное сопротивление.
Комплексное сопротивление можно найти, если известны параметры цепи R,L,C. Напряжение на пассивном элементе выражается через ток Ůк=Zkİк и уравнения решаются аналитически относительно неизвестных токов. Такая форма записи уравнений применяется при анализе сложных цепей, в том числе с использованием ЭВМ.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 807 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
