R-е уравнение коррелат

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r -й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r -й и 2-й строк матрицы и т.д.

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов r -й строки матрицы.

Таким образом получают уравнения коррелат вида:

b₁₁k₁ + b₁₂k₂ + b₁₃k₃ + …+ b_1jk_j + …+ b_1rk_r + W₁ = 0

b₂₁k₁ + b₂₂k₂ + b₂₃k₃ + …+ b_2jk_j + …+ b_2rk_r + W₂ = 0

b₃₁k₁ + b₃₂k₂ + b₃₃k₃ + …+ b_3jk_j + …+ b_3rk_r + W₃ = 0

………………………………………………………. (14.89)

b_j1k₁ + b_j2k₂ + b_j3k₃ + …+ b_jjk_j + …+ b_jrk_r + W_j = 0

……………………………………………………….

b_r1k₁ + b_r2k₂ + b_r3k₃ + …+ b_rjk_j + …+ b_rrk_r + W_r = 0

Можно заметить, что коэффициенты b с обратными индексами равны между собой, т.е. b₁₂ = b₂₁, b₃₅ = b₅₃ и т.п. Т.н. диагональные коэффициенты b_jj представляют собой сумму произведений обратных весов и квадратов коэффициентов а j –й строки, т.е. они всегда положительные. Коэффициенты b с обратными индексами располагаются с разных сторон от диагональной строки. В связи с этим достаточно вычислить диагональные коэффициенты и все коэффициенты, стоящие справа от диагонали. А далее дополнить уравнения недостающими коэффициентами b, записав их такими же, как и коэффициенты с обратными им индексами.

Решение систем линейных уравнений (14.89) выполняется различными способами, рассмотренными в § 135, и другими способами, которые здесь не приведены, но все они, как можно было убедиться из приведенных примеров, весьма громоздкие и требуют значительных затрат времени. Единственным спасением может быть использование специальных программ расчётов на компьютере.

Полученные из решения уравнений (14.89) коррелаты k_j используются для вычисления поправок v_i по формулам (14.85) или (14.86). После введения поправок в измеренные величины получают уравненные значения измеренных величин (14.7).

При оперировании численными значениями коэффициентов условных уравнений, коррелат, весов (обратных весов) и т.п. необходимо иметь в виду следующее:

- значения весов и обратных им величин вычислять до 0,01-0,001 единиц;

- значения коэффициентов a, b и коррелат k вычислять до 0,001-0,0001 единиц;

- чаще всего невязки W при обработке плановых построений выражают в дециметрах, в высотных сетях – в миллиметрах, угловые невязки и поправки выражают в секундах, десятых и сотых долях секунды.

Суммируя сказанное выше, приведем последовательность решения задачи уравнивания коррелатным способом.

Шаг 1. Для данного геодезического построения в системе n результатов x_i, имеющих веса p_i, определяют число k независимых и число r избыточных измерений.

Шаг 2. Составляют математические соотношения (условные уравнения) вида (14.5) с учетом следующих основных требований:

- все условные уравнения должны быть независимыми, т.е. ни одно из них не должно быть следствием другого (других);

- число уравнений должно быть равно числу избыточных измерений r;

- условные уравнения должны иметь возможно простой вид.

Шаг 3. Условные уравнения приводят к линейному виду, для чего выполняют их дифференцирование и находят коэффициенты a_ij (14.79) как частные производные функций φ_j по аргументам x_i.

Находят свободные члены W_j уравнений, т.е. невязки в полученных уравнениях после подстановки в них измеренных значений x_i.

Составляют таблицу (матрицу) коэффициентов a_ij и обратных весов q_i (табл. 14.3).

Шаг 4. Находят коэффициенты b_jj (14.88) нормальных уравнений коррелат (14.89) по алгоритму, изложенному выше, и решают полученную систему линейных уравнений.

После получения значений коррелат k_j из решения уравнений обязательно необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения коррелат подставляют в исходные уравнения (45.89) и проверяют выполнение условия. Незначительные отступления от условия уравнения допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.

Шаг 5. Составляют, пользуясь табл. 14.3, условные уравнения поправок ν_i (14.80), (14.85) (или (14.86). Для значений поправок, например, получим:

ν₁ = q₁(a₁₁k₁ + a₁₂k₂ + …+ a_1jk_j +…+ a_1rk_r)

ν₂ = q₂(a₂₁k₁ + a₂₂k₂ + …+ a_2jk_j +…+ a_2rk_r)

ν₃ = q₃(a₃₁k₁ + a₃₂k₂ + …+ a_3jk_j +…+ a_3rk_r)

………………………………………….. (14.90)

ν_n = q_n(a_n1k₁ + a_n2k₂ + …+ a_njk_j +…+ a_nrk_r)

Вычисляют поправки к измеренным величинам.

После вычисления поправок необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения поправок следует подставить в условные уравнения поправок (14.80) и проверить выполнение указанного условия. Незначительные отклонения от указанного условия допускаются, они возникают изза округления результатов вычислений.

Шаг 6. Вычисляют уравненные значения x_i^' (14.7).

Контроль уравнивания осуществляют подстановкой x_i^' в условные уравнения (14.9). При правильном решении задачи все условные уравнения должны иметь указанное решение. Допускаются незначительные отклонения от указанных условий, они возникают из-за округления результатов вычислений.

После выполнения контроля значения x_i^' округляют с необходимой точностью и вычисляют искомые величины (координаты, высоты и т.п.).

Если условные уравнения изначально существенно нелинейны и при разложении в ряд Тейлора, вообще говоря, недостаточно ограничиваться первыми членами разложения, то условия (14.9) могут не выполниться. В этом случае производят второе приближение уравнивания, считая уравненные из первого приближения значения x_i^' измеренными, а свободными членами W_j – остаточные невязки в уравнениях (14.9).

В § 137 рассмотрены примеры уравнивания различных геодезических построений коррелатным способом.