Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов предложен в 1806 г

Метод наименьших квадратов предложен в 1806 г. французским математиком Лежандром для решения неопределённых систем линейных уравнений. Лежандр просто гениально вышел из указанной неопределённости. Ведь в школе и институте (университете, аекадемии) нас учили, что если система линейных уравнений содержит больше неизвестных, чем число уравнений, то такая система уравнений является неопределённой и имеет множество различных решений, никому, конечно, не нужных в этом случае. А Лежандр с этим не согласился и подарил нам метод наименьших квадратов, который позволяет точно решать такие системы линейных уравнений. Вы не подумайте, что нас обманывали в школе и институте. Ни в коем случае. Просто способ Лежандра используется в определённых случаях, к которым, к счастью, относятся массовые геодезические измерения. Хотя сложность решения этих задач такая, что счастьем это вряд ли можно назвать. Но оно обязательно будет у Вас, это счастье, когда Вы выполните уравнивание в выданной Вам преподавателем задаче.

Условием, которое позволяет решить неопределённую систему линейных уравнений, является условие минимума сумм квадратов поправок v_i, вводимых в результаты измерений, выполненных равноточно либо неравноточно с весами p_i, т.е.,

v_i² + v₂² + …+ v_n² = [ v_i² ] = min. (14.10)

р₁ v_i² + p₂ v₂² + …+ p_n v_n² = [ p_i v_i² ] = min. (14.11)

Поскольку в геодезических построениях выполняют обычно два вида измерений, углов и расстояний, то можно записать:

[ p_sν_s ] + [ p_βν_β ] = min. (14.12)

При измерениях в высотных сетях геометрического нивелирования используются формулы (14.10) и (14.11).

Следовательно, при уравнивании требуется найти минимум функций (14.10) – (14.12), если их переменные находятся во взаимосвязи с независимыми уравнениями (14.8).

Достоинствами принципа наименьших квадратов является то, что при использовании вторых степеней поправок ограничиваются большие поправки, в связи с чем при равноточных измерениях поправки сравнительно равномерно распределяются между результатами измерений. И что очень важно, обратите на это внимание: при неравноточных измерениях веса при поправках уменьшают поправки к более точным результатам измерений и увеличивают их для менее точных результатов.

Решение указанной задачи может быть выполнено двумя основными способами:

- способом Лежандра с неопределенными множителями, т.н. коррелатный способ уравнивания (условий или условных уравнений);

- способом абсолютного экстремума, который основан на представлении измеренных величин в виде функций некоторых параметров, т.н. параметрический способ уравнивания (способ необходимых или косвенных измерений).

Здесь нелишне напомнить, что Вы уже встречались с условием минимизации при анализе точности измерений: по такому же принципу находится средняя квадратическая погрешность. Как известно, средняя квадратическая погрешность вычисляется через суммы квадратов уклонений от арифметического среднего либо через суммы произведений квадратов уклонений на веса измерений при обработке неравноточных измерений. Так вот как раз эти суммы и являются минимальными из всех возможных для других значений вычитаемого, взятого вместо среднего или среднего весового. Проверьте на каком-нибудь примере и убедитесь в этом, на первый взгляд – неочевидном.