Вывод основных уравнений

Динамическое условие на границе пузырька имеет вид

, (1)

где —давление газа внутри пузырька, p —давление жидкости, и —главные радиусы кривизны поверхности, σ — коэффициент поверхностного натяжения.

В случае малых возмущений поверхности разность между нормальной компонентой скорости жидкости на границе раздела

и радиальной скоростью

,

будет второго порядка по a_n/R. Точка вверху переменной означает производную по времени..Тогда граничное условие (1), с учетом приведенных выражений для и , примет вид

.

Здесь для удобства были введены следующие обозначения

, .

Величины А_п из формулы для потенциала скорости жидкости определяются из равенства скоростей на границе раздела, которое можно записать в виде

.

Линеаризуем это уравнение, проводя разложение в ряд Тейлора до первого порядка по Y,

Предполагая, что величины А_п порядка , имеем

.

Поскольку функции линейно независимые, то, приравняв коэффициенты при соответствующих Y_n к нулю, получим

n=2,3,…

Таким образом,

Интеграл Бернулли имеет следующий вид

где - давление жидкости, F(t) некоторая произвольная функция времени, которую можно определить из следующего условия

при

Тогда F(t) = P (t) — давление жидкости на бесконечности. В таком случае находим, что давление жидкости выражается следующим образом

Теперь определим давление жидкости на поверхности пузырька. Для этого необходимо найти и . После некоторых преобразований формул получим окончательные выражения в принятом приближении

Подставляя получим, что давление жидкости на поверхности пузырька

Для того, чтобы использовать динамическое граничное условие, необходимо найти среднюю кривизну поверхности Н, которая определяется по формуле,

где в сферической системе координат

Здесь

В первом приближении по /Rсредняя кривизна поверхности равна

.

Подставляя граничные условия в уравнение давления, получим следующее выражение

Свободные члены уравнения дают известное уравнение Рэлея-Ламба

,

которая используется в программе для расчетов.