Методические указания и примеры решения задач 3 страница

Рассчитываются компоненты нормализованного вектора приори­тетов. Для каждой строкивсе элементы перемножаются, и из произведения извлекается корень n- й степени (где п – число элементов). Полученные числа α₁, α₂, …, α _п суммируются S =α₁ + α₂ + …+ α _п. Затем каждое из чисел делится на полученную сумму (S), что дает компоненты вектора приоритетов. Так, для табл. 2 имеемα₁ = ; α₂ = и т.д. Первый компонент вектора приоритетов: a ₁=α₁/S = 0,277; второй компонент: a ₂= α₂/S = 0,238 и т.д. Компоненты вектора дают численную оценку относительной важности (приоритета) критериев. Из табл. 2 следует, что наиболее важным является критерий К ₁, а наименее важным K ₈. Отметим, что сумма компонентов вектора приоритетов равна единице, т.е. он нормализован.

На следующем шаге проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого рассчитывается , определяется индекс согласования и отношение согласованности. Вычисления выполняются в соответствии с методическими указаниями. В нашей задаче для табл. 2 имеем n = 8, поэтому показатель случайной согласованности по табл. 1 для матрицы соответствующего порядка ПСС=1,41. Теперь находим отношение согласованности ОС = 0,1408/1,41 = 0,0999. Реко­мендуется, чтобы значение ОС было не более 10 … 15 %. Если ОС сильно выходит за эти пределы (превышает 20%), то нужно пересмотреть мат­рицу и проверить свои оценки. Значения величин , ИС и ОС являются харак­теристиками матрицы и выписываются справа внизу таблицы. Они позволяют оценить качество работы эксперта (степень доверия к его оценкам). В частности, чем выше значение ОС, тем меньше степень доверия к оценкам эксперта. Обратный случай, когда ОС слишком мало, например меньше 4 %, говорит о слабой дифференциации критериев. Оптимально, когда ОС примерно равно размеру матрицы (в нашем случае должно быть ОС = 8 … 10).

На следующем этапе проводится попарное сравнение пригодности вариантов по каждому критерию. Результаты представлены в табл.3. Матрицы составляются аналогично матрице сравнения критериев. Рекомендуется для получения осмысленных результатов предварительно проранжировать варианты по каждому критерию, а затем уже заполнять таблицу, придерживаясь предварительной ранжировки. Например, по критерию К ₁ (точность) имеем В ₂ > В ₃ > В ₁ (т.е. В ₂ лучше В ₃ лучше В ₁); по критерию К ₂ (диапазон) В ₃ > В₁ > В ₂ (т.е. В ₃ лучше В ₁ лучше В ₂) и т. д. Соответственно при проставлении оценок в табл. 3 по критерию К ₁, В ₂ будет значительно превосходить В ₁ (оценка от 5 до 9) и умеренно В ₃ (оценка от 2 до 4); по критерию К ₂ уже В ₃ будет значительно превосходить В ₂ (оценка от 5 до 9) и умеренно В ₁ (оценка от 2 до 4) и т.п. Подсчитывается значение общего критерия для каждого вари­анта. Дляэтого значение компонента вектора приоритетов данного варианта по первому критерию (табл. 3) умножаем на значение при­оритета первого критерия (табл. 2), затем значение компонента век­тора приоритетов данного варианта по второму критерию умножаем на значение приоритета второго критерия и т.д. по всем критериям. Полу­ченные произведения суммируем и получаем значение общего критерия для первого варианта решения. Аналогично проводится расчет для второго и третьего вариантов. В нашем примере они равны

K (B ₁) = 0,097 • 0,277 + 0,229 • 0,238 + … + 0,559 • 0,019 = 0,334. К (В ₂) = 0,570 • 0,277 + 0,075 • 0,238 + … + 0,352 • 0,019 = 0,269; К (В ₃) = 0,333 • 0,277 + 0,696 • 0,238 + … + 0,089 • 0,019 = 0,397.

Наибольшее значение критерия имеет третий вариант, который является предпочтительным перед остальными.

Подсчитывается обобщенный индекс согласования ОИС = 0,0123 • 0,277 + 0,0382 • 0,238 + … + 0,0268 • 0,019 = 0,0289.

Определяется обобщенный показатель случайной согласован­ности (ОПСС) для всей матрицы. Он подсчитывается так же, как ОИС, с той разницей, что вместо ИС₁, ИС₂ и т.д. из табл. 3 подставляются показатели слу­чайной согласованности, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов, из табл. 1. В нашей задаче все эти матрицы имеют размерность три, поэтому обобщенный показатель случайной согласован­ности равен ОПСС = 0,58 • 0,277 + 0,58 • 0,238 +... + 0,58 • 0,019 = 0,58, так как вектор приоритетов для критериев является нормализованным.

Таблица 3 к примеру 1 задачи 4

К 1

В 1

В 2

В 3

НВП

К 2

В 1

В 2

В 3

НВП

В 1 B 2 В 3

1/5 1/2

1/4

0,097 0,570 0,333

В 1 B 2 В 3

1/4

1/4 1/7

0,229 0,075 0,696

= 3,0246 ИС1 = 0,0123 ОО1= 0,0212

= 3,0764 ИС2=0,0382 ОС2 = 0,0659

К 3

В 1

В 2

В 3

НВП

К 4

В 1

В 2

В 3

НВП

В 1 B 2 В 3

1/7 1/2

1/7

0,574 0,065 0,361

В 1 B 2 В 3

1/8 1/3

1/7

0,645 0,058 0,297

= 3,0536 ИС3 = 0,0268 ОО3= 0,0462

= 3,1044 ИС4 = 0,0522 ОС4 = 0,0900

К 5

В 1

В 2

В 3

НВП

К 6

В 1

В 2

В 3

НВП

В 1 B 2 В 3

0,333 0,333 0,333

В 1 B 2 В 3

1/7

1/3 1/8

0,297 0,645 0,058

= 3,0000 ИС5 = 0,0000 ОО5= 0,0000

= 3,1044 ИС6=0,0522 ОС6 =0,0900

Продолжение таблицы 3 к примеру 1 задачи 4

К 7	В 1	В 2	В 3	НВП	К 8	В 1	В 2	В 3	НВП
В 1 B 2 В 3	1/5	1/3 1/6		0,287 0,635 0,078	В 1 B 2 В 3	1/2 1/5	1/5		0,559 0,352 0,089
				=3,0940 ИС7 = 0,0470 ОО7= 0,0810					= 3,0536 ИС8=0,0268 ОС8 =0,0462

Определяется обобщенное отношение согласованности ООС = ОИС/ОПСС = 5 %. Полученное значение показывает, что отношение согласованности приемлемое, и решение является достоверным.

В заключение оценим положительные и отрицательные последствия решения. К положительным последствиям можно отнести, например, возможность решения новых измерительных задач и уменьшение потерь времени, денег и усилий на это; возможность выполнения заказов и связанный с этим доход; удовлетворение от проделанной работы; возможность поощрения за выполненную работу; повышение престижа; уменьшение беспокойства и дополнительных эмоциональных нагрузок, связанных с необходимостью выполнения работы на стороне и т.п. К отрицательным последствиям относятся, например, увеличение рабочей нагрузки; дополнительные затраты времени на эксплуатацию и обслуживание; дополнительные затраты денег и усилий на ремонт и обслуживание; дополнительные эмоциональные нагрузки, связанные с работой; возможность понижения престижа; возможность выговора за неправильные результаты и т.п.

Следует иметь в виду, что любой выбор сопровождается положительными и отрицательными последствиями.

Задача 5. По данным предыдущей задачи найдите наилучшее решение, используя следующие методы: а) свертку по наихудшему критерию (с учетом важности критериев и без учета), б) метод главного критерия, в) мультипликативную свертку, г) свертку по наилучшему критерию, д) аддитивную свертку с использованием функции полезности, е) метод расстояния, ж) метод пороговых критериев. Обоснуйте применимость каждого метода, объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Методические указания

Цель задачи – освоение и правильное применение методов оптимального выбора по многим критериям в практически важных случаях. Следует иметь в виду, что возможны две постановки задачи. В первой постановке известны вес (важность) критериев и значения критериев, представляющие собой оценки пригодности вариантов по критериям. В этом случае расчеты проводятся непосредственно по соотношениям раздела 5 конспекта лекций с учетом приведенных ниже рекомендаций. Во второй постановке вес критериев и оценки пригодности вариантов заранее не известны и должны устанавливаться в процессе решения задачи. Ниже рассмотрен второй тип задачи с использованием табл. 2 и табл. 3 предыдущего примера.

Свертка по наихудшему критерию соответствует стратегии «пессимизма», при которой решение принимается по критерию, имеющему наименьшее значение. При учете веса критериев нужно подсчитать для каждого варианта решения значение произведения а_jK_j, где а_j - вес критерия j, который берется из табл. 2 или из исходных данных; K_j – его значение для данного варианта решения, которое берется из табл. 3 или из исходных данных. Сначала проводится расчет для 1-го варианта (B ₁): а ₁ K ₁(B ₁), a ₂ К ₂(В ₁), а ₃ К ₃(В ₁) и т.д., и из полученных значений выбирается наименьшее. Затем то же самое делается для второго варианта (В ₂): а ₁ K ₁(B ₂), а ₂ K ₂(B ₂), и т.д., и из полученных значений выбирается наименьшее. Затем для 3-го варианта (В ₃) и т.д. для всех вариантов решений. Пусть для определенности множество альтернатив состоит из трех вариантов решений (В ₁, В ₂, В ₃). Для 1-го варианта наименьшим оказалось, например, значение a ₂ K ₂ (B ₁), для 2-го варианта – a ₄ К ₄(В ₂), для 3-го варианта – a ₁ К ₁(В ₃). Теперь из этих наименьших значений выбираем наибольшее, например, им оказалось a ₄ К ₄(В ₂); тогда вариант, которомуоносоответствует (в нашем случае В ₂), и является наилучшим. При выполнении этой же свертки без учета веса критериев все веса а_j полагаются равными обратному числу критериев, а в остальном все расчеты делаются аналогично.

Метод главного критерия применяется, когда один из критериев значительно превосходит по важности все остальные, на практике, в три и более раз (если это условие не выполняется, то метод применять не рекомендуется). В этом случае решение принимается по этому критерию. Например, пусть это критерий K₁. Подсчитаем его значение для каждого варианта (вес критерия учитывать не нужно, так как остальные критерии не принимаютсявовнимание): K ₁(B ₁), K ₁(B ₂), К ₁(В ₃) и т.д. Тот вариант, для которого значение главного критерия максимально, является наилучшим.

Мультипликативная свертка позволяет учесть критерии, имеющие малые (по модулю) значения. Расчеты выполняются следующим образом (пусть для определенности множество альтернатив опять состоит из трех вариантов). Сначала для каждого варианта подсчитывается взвешенное произведение. Для 1-го варианта имеем K (B ₁) = K₁^a1 (B ₁) ∙ K₂^a2 (B ₁) ∙ …; для 2-го варианта имеем K (B ₂) = K₁^a1 (B ₂) ∙ K₂^a2 (B ₂) ∙ …; аналогично для 3-го варианта получаем, K (B ₃) = K₁^a1 (B ₃) ∙ K₂^a2 (B ₃) ∙ …; где К – общий критерий, а число сомножителей равно числу частных критериев. Получаем три значения K (B ₁), К (В ₂), К (В ₃) (по числу вариантов). Выбираем из них наибольшее, например, это оказалось К (В ₂), тогда В ₂ – наилучшеерешение.

Свертка по наилучшему критерию соответствует стратегии «оптимизма». Подсчитываем для 1-го варианта значения произведений a ₁ K ₁(B ₁), a ₂ К ₂(В ₁), а ₃ К ₃(В ₁),…, a_nK_n (B ₁), и из полученных значений выбираем наибольшее, например, это оказалось а ₃ К ₃(В ₁); для 2-го варианта имеем a ₁ K ₁(B ₂), a ₂ К ₂(В ₂),..., a_nK_n (B ₂), и выбирается наибольшее значение, например, это оказалось a ₁ К ₁(В ₂); для 3-го варианта a ₁ K ₁(B ₃), a ₂ К ₂(В ₃),…, a_nK_n (B ₃), и выбирается наибольшее значение, например, это оказалось a ₅ K ₅(B ₃). Теперь из трех наибольших значений a ₃ K ₃(B ₁), a ₁ К ₁(В ₂), а ₅ К ₅(В ₃) выбираем опять наибольшее, например, это оказалось а ₁ К ₁(В ₂). Вариант, которому оно соответствует, является наилучшим (в нашем случае В ₂).

Аддитивная свертка позволяет учесть критерии, имеющие большие по модулю значения. Эта свертка используется в методе анализа иерархий (задача 4). Можно действовать иначе, используя функцию полезности. Оценим по 10-ти балльной шкале полезность (ценность) каждого варианта по каждому критерию. Важно учесть, что оценка полезности варианта зависит от цели, а та, в свою очередь, от условий и ограничений внешних систем. Например, если автомобиль будет использоваться для личных поездок в черте города, то это приводит к одним оценкам, если же для доставки мелких грузов, то оценки полезности по некоторым критериям изменятся; если он будет использоваться в сельской местности, то оценки опять изменятся и т.п. Поэтому при оценке полезности вариантов по каждому критерию необходимо определить цель и затем проводить оценки. Оценку полезности по каждому критерию рекомендуется проводить одновременно для всех вариантов, используя сравнительную шкалу. Например, если принять, что оценка варианта B ₁ по критерию K ₁ умеренно превосходит оценку варианта В ₂, то значение K ₁(B ₁) должно быть больше значения K ₁(B ₂) на 2... 4 балла. Если оценка В ₂ сильно превосходит оценку В ₃ по тому же критерию, то K ₁(B ₂) должно быть больше К₁(В ₃) уже на 6... 7 баллов и т.д. Затем задается абсолютная оценка для В ₃, т.е. для варианта, имеющего минимальную относительную оценку по рассматриваемому критерию. Обычно эта оценка принимается равной 1, т.е. К ₁(В ₃) = 1 балл, тогда К ₁(В ₂) = 7... 8 баллов, K ₁(B ₁) = 9... 10 баллов (оценки не должны выходить за пределы 10-ти балльной шкалы). Для 1-го варианта получим значения оценок полезности K ₁(B ₁), K ₂(B ₁), К ₃(В ₁),...., K_n (B ₁). Умножая каждое значение на вес соответствующего критерия, получим a ₁ K ₁(B ₁), a ₂ К ₂(В ₁), …, a_nK_n (B ₁). Веса критериев могут быть взятыиз примера 1 задачи 4 либо определены другим способом. Аналогично для 2-го варианта имеем a ₁ K ₁(B ₂), a ₂ К ₂(В ₂), а ₃ К ₃(В ₂),…, a_nK_n (B ₂). Для 3-го варианта имеем a ₁ K ₁(B ₃), a ₂ К ₂(В ₃), …, a_nK_n (B ₃). Теперь подсчитаем оценку общей полезности (ценность) для каждого варианта. Для B ₁ получаем К (В ₁) = a ₁ K ₁(B ₁) + a ₂ К ₂(В ₁) + … + a_nK_n (B ₁), для В ₂ имеем К (В ₂) = a ₁ K ₁(B ₂) + a ₂ К ₂(В ₂) + … + a_nK_n (B ₂), для В ₃ аналогично получаем К (В ₃) = a ₁ K ₁(B ₃) + a ₂ К ₂(В ₃) + …+ a_n K_n (B ₃).

Таким образом, имеем три значения: K (B ₁), К (В ₂), К (В ₃). Наилучшим считается вариант, для которого значение общего критерия максимально. Пусть, например, наибольшим является значение К (В ₂), тогда В ₂ – наилучший вариант решения.

Метод метрики (расстояния) применяется, когда по условиям задачи можно определить «идеальное» решение (В _ид), имеющее абсолютный максимум сразу по всем критериям. Обозначим координаты точки максимума K ₁(В _ид), K ₂(В _ид),…., K_n (В _ид). Они могут определяться по исходным данным в виде . Применяя другие обозначения получаем , где , – число критериев, – число вариантов решения. В частности, если , , то имеем , и т.д.

В качестве меры расстояния альтернатив до идеального решения используем функцию Минковского. Подсчитывается значение этой функции для каждого варианта решения d (B ₁), d (В ₂), и т.д. Тот вариант, для которого расстояние наименьшее, является наилучшим.

Метод пороговых критериев применяется, когда условия заданы в виде системы неравенств (раздел 5 конспекта лекций). Если пороговые значения критериев не заданы, то их можно определить по исходным данным в виде , или, применяя другие обозначения можно записать . В частности, если , , то имеем следующие выражения для пороговых значений , и т.д. для всех восьми критериев. Затем подсчитывается значение общего критерия для каждого варианта, как минимальное из значений для данного варианта. Получаем три значения K (B ₁), К (В ₂), К (В ₃). Наилучшим считается вариант, для которого значение общего критерия максимально. Пусть, например, наибольшим (из трех наименьших!) является значение К (В ₁), тогда В ₁ – наилучший вариант решения. Рассмотрим пример.

Пример 1. Используем результаты, полученные в примере 1 задачи 4. Результаты по аддитивной свертке даны в этом примере, поэтому рассмотрим остальные методы.

Максминная свертка (свертка по наихудшему критерию) с учетом веса критериев. Расчеты дают K (В ₁) = 0,0105, K (В ₂) = 0,0066, K (В ₃) = 0,0017. Наилучшим является вариант В ₁.

Максминная свертка (свертка по наихудшему критерию) без учета веса критериев. В этом случае, чтобы вес критериев не учитывался, нужно в табл. 2 все оценки положить равными 1, тогда вес каждого критерия равен 1/ n = 1/8 = 0,125. Данные табл. 3 остаются без изменения. Расчеты дают К (В ₁) = 0,0806, К (В ₂) = 0,0073, К (В ₃) = 0,0371. Наилучшим является вариант В ₁.

Метод главного критерия. По данным табл. 2 критерий К ₁ можно считать главным лишь с оговоркой, так как он не превосходит все остальные в 3 и более раз. Расчеты дают К (В ₁) = 0,0270, К (В ₂) = 0,1580, К (В ₃) = 0,0924. Наилучшим является вариант В ₂.

Мультипликативная свертка. Расчеты дают К (В ₁) = 0,2640, К (В ₂) = 0,1625, К (В ₃) = 0,3453. Наилучший вариант В ₃.

Свертка по наилучшему критерию. Расчеты дают К (В ₁) = 0,055, К (В ₂) = 0,166, К (В ₃) = 0,018. Наилучшим является вариант В ₂.

Аддитивная свертка, использующая функцию полезности. Оценки полезности получены на основе данных табл. 3. Из табл. 3 сравнения вариантов по критерию К ₁ следует, что их ценности относятся друг к другу как 1: 6: 3. Результаты расчетов для вариантов В ₁, В ₂, В ₃ в относительных единицах даны в таблице.

Таблица к примеру 1 задачи 5

	К 1	К 2	К 3	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8
В 1
В 2
В 3

Из таблицы получаем, что варианту В ₁ соответствует оценка полезности в баллах 1/(1+6+3) × 10 = 1 балл; оценка для В ₂ составляет 6/(1+6+3) × 10 = 6 баллов; оценка для В ₃ равна 3/(1+6+3) × 10 = 3 балла. Аналогично получаются оценки полезности вариантов по другим критериям. Используя данные таблицы и оценки важности критериев из табл. 3, найдем

K (В ₁) = 0,277 × 1 + 0,238 × 2 + 0,203×6 + 0,131×6 + … = 3,247, K (В ₂) = 0,277 × 6 + 0,238 × 1 + 0,203 × 1 + 0,131 × 1 + … = 2,777, K (В ₃) = 0,277 × 3 + 0,238 × 7 + 0,203 × 4 + 0,131 × 3 + … = 3,852,