Применение теории нечетких множеств для решения задачи оптимального выбора

В работе Беллмана и Заде впервые было предложено использовать теорию нечетких множеств для решения задачи оптимального выбора. Обычно при ее решении делаются следующие упрощения: независимость выбора от состояний среды (закрытые системы), одинаковая важность критериев, каждая целевая функция определяет отношение полного порядка на множестве объектов.

Пусть E – множество объектов, оцениваемых по множеству критериев K; X_i – область, в которой оцениваются объекты по критерию . Целевая функция, связанная с критерием K_i, описывается нечетким множеством , определенным на X_i с функцией принадлежности . Значение (ядро множества) соответствует полной совместимости объекта с множеством целей , а – полной несовместимости. Значения (носитель нечеткого множества ) соответствует частичной совместимости объекта и целей, задаваемых предпочтениями ЛПР.

Определение величин может осуществляться различными методами, например, использование градаций уровня совместимости (при этом осуществляется дискретизация множества X), их сопоставление с оценками ЛПР по лингвистической шкале с последующим сглаживанием дискретных значений, представление нечеткой цели в виде нечеткого числа, причем ЛПР непосредственно задает параметры модели, исходя из имеющейся информации и своих предпочтений. После того, как функции построены для всех целей, решается задача их свертки, которая формулируется в следующем виде: имеется m частных целей, связываемых с m критериями K_i, по которым оцениваются объекты из множества E. Нечеткое множество объектов, совместимых с общей целью, получается свертыванием нечетких множеств с функциями принадлежности . Иными словами ищется отображение f из [0, 1] ^m в [0, 1] такое, что

. (6.4.1)

Обычно требуют, чтобы операция свертки удовлетворяла ряду аксиом, например граничные условия, монотонность, симметричность и непрерывность. Свойство непрерывности не является обязательным. Эти условия записываются в виде

– граничные условия: , причем , ;

– монотонность: если для , то ;

– симметричность: , где P – перестановка. Это условие предполагает, что цели имеют одинаковую важность.

Перечисленные аксиомы определяют широкий класс операций пересечения и объединения нечетких множеств, так называемых треугольных норм и конорм. Выделяют несколько групп операций свертки, характеризуемых сохранением некоторых полезных свойств операций пересечения (конъюнкция целей) и объединения (дизъюнкция целей) для обычных множеств, например законы исключенного третьего и непротиворечивости или идемпотентность и взаимная дистрибутивность.

Идемпотентные операции, наиболее характерными представителями которых являются операция и операция

, . (6.4.2)

Следует отметить, что операция – самая большая из операций пересечения, а операция – самая малая из операций объединения.

Архимедовы операции, обладающие строгой монотонностью, например операции умножения и суммирования

, . (6.4.3)

Нильпотентные операции, например операции усеченного пересечения и усеченного объединения

, . (6.4.4)

Для случая двух аргументов промежуточные стратегии между конъюнкцией и дизъюнкцией могут быть описаны в виде параметрического семейства, предложенного Р. Ягером [11]:

, (6.4.5)

где g – степень компенсации целей; , – выбранные операции пересечения и объединения.

Кроме операций пересечения и объединения, исследовались также операции осреднения и симметрического суммирования. Операции осреднения включают медианную оценку, а также различные типы средних. Симметрические операторы свертки определяются равенством . Их применение требует в каждом случае обоснования. Примером симметрического оператора является среднее арифметическое.

При обобщении задачи на случай многих критериев в качестве операции свертки используются симметрические суммы вида

, (6.4.6)

где g – произвольная неубывающая, неотрицательная, непрерывная функция.

Учет важности критериев может быть проведен обобщением подходов, используемых в классическом случае, например заданием нечетких порогов удовлетворения целей, взвешиванием критериев и подцелей и т.п.

Рассмотренные группы операций свертки не исчерпывают всего возможного спектра стратегий; особенно наглядно это проявляется, когда цели взаимозависимы. Наряду с ними могут применяться другие операции, например получаемые комбинированием перечисленных выше. Следует отметить, что выбор подходящей операции свертки зависит от характера предпочтений ЛПР, имеющихся ограничений (наличие эталона, пороговой системы, аналогов и т.п.), а также характеристик точности информации о целях и критериях. Обзор нечетких операций свертки можно найти, например, в [1, 11].

При решении многокритериальной задачи выбора в нечеткой среде можно выделить три подхода: функциональный подход, нечеткая классификация и нечеткая логика.

Функциональный подход. Обозначим – нечеткое множество альтернатив, совместимых с заданными целями, – произвольная альтернатива из . Каждая альтернатива оценивается по критериям, так что ей соответствует представление в критериальном пространстве. Предполагается, что свертка по критериям выполнена тем или иным способом. Пусть – нечеткое множество эталонов (идеальных систем, пороговых систем, аналогов и т.п.), – элемент из этого множества. Каждый элемент также оцениваетсяпо критериям, свертка которых выполнена. Сравнение альтернативы с эталоном осуществляется по расстоянию альтернативы до эталона ,котороеопределяется на основе нечеткого отношения согласования – различения . Если эталонное множество отсутствует, то отношение задается на элементах множества ,т.е. . Тип отношения зависит от условий задачи, например тождество, подобие, сходство, различие, несходство и т.п. Наилучшее решение может определяться двояко. Если эталонное множество недостижимо на практике, то имеем

, (6.4.7)

что соответствует выбору по наименьшему различию (по наименее специфичному элементу). Если эталонное множество определяется в процессе решения задачи, то имеем

,(6.4.8)

что соответствует выбору по наибольшему различию (по наиболее специфичному элементу). Конкретный вид меры расстояния зависит от условий задачи, типа отношения и стратегии ЛПР. Например, она может определяться через функцию принадлежности отношения ,через интервал значений аргументов, соответствующих модальным значениям нечетких множеств, представляющих альтернативу и эталон и т.п.

Рассмотрим в качестве примера задачу диагностирования. Дано множество из объектов , каждый из которых оценивается по критериям . Тип объектов не имеет значения, например техническая конструкция, человек, фирма и т.п. Известна также информация о допустимых состояниях объектов, например, в виде задания «эталонных» множеств – нормальное состояние объекта, – группа риска (нужна профилактика или наблюдение), – аномальная группа (аварийное состояние, больные и т.п.). Каждому эталонному множеству соответствует допустимый набор критериев, которые определяются в нечеткой форме, например в виде значений лингвистической переменной (очень низкое значение, низкое, среднее, довольно высокое, высокое, очень высокое и т.п.). Будем считать, что оценки значений критериев для каждого объекта заданы в виде нечетких множеств, например в виде нечеткого числа, интервала или значения лингвистической переменной. Соответствующие данные представлены в табл. 11, где , . Предполагается, что значения лингвистических переменных, данные в таблице, представлены нечеткими множествами. Требуется определить, какие из объектов находятся в нормальном состоянии, какие попадают в группу риска и какие – в аномальную группу, а также определить, какой объект является наилучшим. Для простоты будем считать, что все критерии имеют одинаковую важность, что не имеет принципиального значения. Таким образом, каждый объект и эталон представлены набором нечетких критериев и нужно сравнить нечеткие объекты с нечеткими эталонами.

Таблица 11