Линейная независимость лестничной системы векторов

Предложение: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство:

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через b, c, …, то есть

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора равна нулю (из определения лестничной системы векторов первая координата всех последующих векторов равна нулю).

Полученное противоречие доказывает, что линейная система векторов линейно независима.

4. Однозначность разложения вектора по базису.

Предложение: Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство:

Допустим,что существуют два способа разложения вектора а по базису

Тогда

И

Если вычесть эти два равенства, получим, что

Так как векторы базиса линейно независимы, то они не равны нулю.

Значит, =0, =0, …, =0

То есть k=l, и существует лишь один способ разложения вектора по базису.