Графоаналитический метод многоугольников сил Г.М. Шахунянца

Если поверхность возможного смещения известна, например, предопределена геологической структурой склона, установлена при выполнении инженерных изысканий или принята с помощью различных теоретических методов, то расчет устойчивости массива нередко целесообразно вести способом многоугольников сил [23, 38, 39].

В основе расчета сохраняется гипотеза затвердевшего тела. Эта гипотеза нарушается, если поверхность смещения не плоскость и не поверхность круглого цилиндра (по которым вышележащий массив действительно может смещаться, как одно целое), так как при любом ином очертании поверхности при смещении в массиве возникают местные напряжения. Но эти местные напряжения могут при движении массива создавать лишь чисто местный эффект в виде отдельных трещин разрыва или местных уплотнений грунта. Так как расчет ведется для определения условий устойчивости массива, то представляется возможным сохранить как рабочую гипотезу предположение о затвердевшем теле. Данное предположение лежит в обычных рамках тех допущений, которые приняты практически в обычных расчетах строительной механики. В большом количестве случаев строительных расчетов деталь рассматривается как одно целое и рассчитывается на общие напряжения. Если требуется, то дополнительно учитывается влияние местных напряжений.

Этот способ покажем на примере определения давления на удерживающую конструкцию, исходя из предположения, что без взаимодействия с этим сооружением массив будет малоустойчив или неустойчив.

На рис. 11, а представлен грунтовый массив, на котором имеются какие-либо сооружения (на рисунке не показаны). Массив, поддерживаемый противооползневой конструкцией, находится в равновесии. Необходимо определить давление грунта на удерживающее сооружение, равное по величине и обратное по направлению реакции этого сооружения.

Рис. 11. Метод многоугольников сил:

а - расчетная схема склона; б - схема одного из отсеков с многоугольником сил; в - деталь подошвы отсека; г - общий многоугольник сил

Разобьем весь массив на ряд отсеков. В веса полученных отсеков P_i включаем вес грунта и сооружений, находящихся над каждым отсеком. На каждый отсек действует тангенциальная Q_i и нормальная N_i составляющие веса отсека P_i. Вырежем мысленно какой-либо отсек из массива (например, 3 - см. рис. 11, б) и приложим к нему, кроме указанных сил, силы E ₂ и E ₃, заменяющие воздействие на него соседних отсеков. По поверхности АВ возможного смещения отсека действуют реакции со стороны этой поверхности, равные, в условиях предельного равновесия, силам сцепления и трения по этой поверхности (при условии полного проявления этих сил), и нормальная реакция. Силу сцепления обозначим через C ₃ = c ₃ l ₃. Силу трения T ₃ и нормальную реакцию S ₃^н поверхности АВ заменим их равнодействующей S ₃ (см. рис. 11, в). Сила трения T ₃ = S ₃^нtgφ₃, а равнодействующая

S ₃ = (92)

Угол наклона равнодействующей S ₃ к нормали к поверхности АВ будет при этом равен углу φ₃ внутреннего трения грунта по грунту на поверхности АВ (см. рис. 11, в), так как тангенс этого угла равен отношению силы трения T ₃ = tg φ₃ S ₃^н к нормальной реакции S ₃^н.

Весь массив будет иметь заданный коэффициент устойчивости K _у, если для каждого отсека будет выдержано это же требование.

Силами, сдвигающими весь массив по поверхности скольжения, будут тангенциальные составляющие Q_i сил P_i, если они направлены в сторону возможного смещения массива. Все остальные силы, в том числе и реакция удерживающего сооружения, являются силами либо непосредственно не влияющими на устойчивость (как силы N_i), либо сопротивляющимися возможному смещению.

Рассматриваем коэффициент устойчивости в отношении возможного смещения каждого отсека по поверхности скольжения (принимаемой для каждого отсека за плоскость) как отношение всех тангенциальных сил, удерживающих массив (R _уд), ко всем тангенциальным силам, стремящимся вызвать смещение его (Q _сдв). Тогда можно записать, что для обеспечения заданного коэффициента устойчивости необходимо, чтобы

R _уд - K _у Q _сдв = 0 (K _у = R _уд/ Q _сдв; R _уд = K _у/ Q _сдв). (93)

Иначе говоря, задачу обеспечения заданного коэффициента устойчивости K _у можно свести к обычным условиям равновесия, если при рассмотрении действия сил вместо сдвигающих тангенциальных сил брать силы в K _у раз большие по величине и действующие в том же направлении.

Поэтому принимаем при составлении условий равновесия вместо тангенциальной составляющей Q_i силы P_i величину K _у Q_i, если сила Q_i стремится сдвинуть массив (как это имеет место в отсеках 1, 2 и 4). Значение силы Q_i принимается без изменения, если она сопротивляется смещению (как это имеет место в отсеке 3).

При проведении расчета допускаем, что силы E_i направлены по прямым, параллельным направлению реакции удерживающего сооружения E _оп. На рис. 11, а реакция E _оппротивооползневой конструкции принята направленной горизонтально, поэтому все силы E_i ориентированы горизонтально.

Решая задачу относительно каждого отсека самостоятельно (см. рис. 11, б), следует считать для каждого отсека силы Q_i, C_i и E _i-1 известными. При этом сила E _i-1 известна в результате решения задачи для предыдущего отсека, имея в виду, что в первом отсеке сила отсутствует. Неизвестными силами в каждом отсеке являются, следовательно, силы E_i и S_i.

Оставляя на время в стороне вопрос определения точек приложения сил, решим задачу по определению величин сил E_i и S_i, которые заданы своими направлениями. Для этого достаточно двух условий статики. Эта задача может быть решена как аналитически (см. предыдущий способ расчета), так и построением многоугольника сил. Последнее решение обычно гарантирует достаточную точность. Оно и показано для третьего отсека на рис. 11, б. Для всего склона задача решается графически от отсека к отсеку, построением для каждого из них многоугольника сил. На рис. 11, г эти многоугольники показаны непрерывно следующими один за другим с общей стороной многоугольников E_i - для данного отсека и предыдущего. При переходе от одного отсека к другому следует лишь менять направление силы E_{i -1} (являющейся реакцией данного отсека на предыдущий) на обратное, так как в этом случае сила E_{i -1} передается от предыдущего отсека на данный.

Сила E ₄, определенная для последнего отсека, и будет представлять собой полную реакцию, которую должно обеспечить удерживающее сооружение, чтобы массив имел заданный коэффициент устойчивости K _у.

В связи с этим при расчете самого удерживающего сооружения следует требовать лишь выполнения обычных условий равновесия, ибо коэффициент устойчивости уже учтен при определении силы E _оп.

Точку приложения реакции удерживающего сооружения E _оп, уже известной по величине и направлению, можно приблизительно найти, используя оставшееся третье условие равновесия. Для этого следует найти центр круговой кривой, возможно ближе совпадающей с фактической кривой скольжения (на рис. 11, а заменяющая дуга круга радиуса r с центром О показана пунктиром). Плечо от центра О до направления силы E _оп - реакции удерживающего сооружения - обозначено через z.

Беря момент всех сил относительно центра О, получим:

E _оп× z = r (K _уΣ Q_{i сдв} - Σ C _i - Σ S_i sin φ _i - Σ N_i tg φ _i - Σ Q_{i уд});

z = (K _уΣ Q_{i сдв} - Σ C _i - Σ S_i sin φ _i - Σ N_i tg φ _i - Σ Q_{i уд})× r / E _оп. (94)

Многоугольник сил дает возможность определять также и наилучшее место расположения удерживающего сооружения, и места наиболее вероятных разрывов массива, и места возможных возникновений бугров и террас выпирания в случае сползания массива (то есть при K _у ≤ 1), и ряд других вопросов, представляющих на практике нередко большой интерес.

Из рассмотрения рисунка 11, г видно, например, что более рациональным было бы расположение удерживающей конструкции на границе не четвертого, а третьего отсека, так как при этом была бы меньше реакция E _оп, ибо она равнялась бы E ₃, а не E ₄ (а из многоугольника сил видно, что E ₃ < E ₄).

При построении многоугольника сил необходимо следить за тем, не становится ли в каком-то i -ом отсеке сила равной нулю или обратного знака, то есть не исчезает ли она или даже не становится ли вместо силы поддерживающей силой сдвигающей. Последнее физически быть не может (если в грунте не могут возникать растягивающие напряжения) и покажет лишь, что часть массива от начала и до границы где-то внутри данного отсека имеет не только заданный коэффициент устойчивости, но даже избыток. Таким образом, при построении многоугольника сил непосредственно определяются границы устойчивых участков массива. При наличии отрицательного значения силы (когда она имеет направление в i -ом отсеке в сторону смещения) и построении многоугольника сил для следующего отсека i + 1 сила E_i в этот многоугольник не включается (при условии недопущения растягивающих напряжений; при допущении растягивающих напряжений может учитываться лишь та часть силы E_i, при которой растягивающие напряжения не превосходят допускаемых).

Описанный прием построения многоугольников сил может быть применен и для решения задачи: имеет ли данный массив коэффициент устойчивости не менее заданного?

Если массив не будет иметь заданного коэффициента устойчивости K _у, то сила E _оп, равная, например, в рассмотренном случае E ₄, которую надо приложить в конце последнего отсека, чтобы обеспечить массиву этот коэффициент, будет направлена на поддержание массива. Если фактический коэффициент устойчивости массива равен или более заданного, то сила E _оп = E ₄ будет или равна нулю или направлена в сторону возможного смещения массива. Последнее показывает, что для того, чтобы фактически большой коэффициент устойчивости снизить до заданного, нужно приложить сдвигающую силу E _оп = E ₄. В разобранном примере массив не имеет заданного коэффициента устойчивости K _у, так как сила E _оп = E ₄ в многоугольнике сил оказалась направленной на поддержание откоса.

При наличии на склоне грунтовых вод или необходимости учета сейсмического воздействия силы j_i и Q _{с i} добавляются непосредственно к силам Q_i и таким образом также участвуют в графическом построении. Взвешивание грунта учитывается аналогично тому, как это было описано в предыдущих методах расчета.

Как видно из сказанного, рассмотренный метод многоугольников сил дает возможность непосредственно определять величину оползневого давления, на которое должна рассчитываться противооползневая удерживающая конструкция.