Аналитический метод Г.М. Шахунянца

Данный метод [23, 36, 39], как и предыдущий, удобнее всего применять, когда конфигурация поверхности скольжения на всем протяжении уже установлена. Метод Г.М. Шахунянца в целом аналогичен методу касательных сил, однако в данном случае более строго соблюдены законы строительной механики. Как и ранее, оползневой блок для расчетов мысленно членится на ряд отсеков. Обычно отсеки принимают такими, чтобы без практической потери точности можно было в их пределах принимать поверхность за плоскость и чтобы состояние грунта, очертание склона, действие внешних сил и т.п. были практически однородными.

Рис. 10. Аналитический метод Г.М. Шахунянца

Будем определять устойчивость блока при произвольной поверхности возможного смещения (рис. 10). Рассмотрим условие равновесия любого i -го отсека (например, второго). Все внешние активные силы (вес грунта в отсеке, внешняя нагрузка и т.д.), действующие на i -й отсек, приводим к равнодействующей P_i. Последнюю раскладываем в точке ее приложения на составляющие: нормальную N_i и тангенциальную Q_i к плоскости возможного сдвига отсека. Г.М. Шахунянц в общем случае принимает, что равнодействующая внешних активных сил наклонена к вертикали под углом θ _i. Мы для упрощения рассуждений будем рассматривать случай, когда сила P_i вертикальна, то есть угол θ _i = 0, тогда

N_i = P_i cos α _i; Q_i = P_i sin α _i. (78)

При падении поверхностей скольжения в пределах каждого отсека в сторону возможного смещения блока значения α _i берутся со знаком плюс, при падении поверхностей скольжения в обратную сторону - со знаком минус.

Следуя основным законам строительной механики, выделив для раздельного рассмотрения i -й отсек, мы обязаны заменить влияние на него вышележащей части блока силой E_{i -1}, а влияние нижележащей части - аналогично силой E_i. В общем случае Г.М. Шахунянц принимает, что сила E_{i -1} направлена под некоторым углом η _{i -1} к горизонту, сила E_i - под углом η _i к горизонту и т.д. Мы же в данном случае допустим, что силы E_i направлены по прямым, параллельным направлению реакции удерживающей конструкции, которое примем горизонтальным (как это обычно принимается при вертикальности грани контакта грунта с удерживающей конструкцией). Поэтому все силы E_i рассматриваем ориентированными горизонтально, то есть η _i = 0. Сопротивляются сдвигу i -го отсека по плоскости его основания, наклоненной под углом α _i к горизонту, сила сцепления c_il_i и сила трения S_i ^нtg φ _i (где S_i ^н - нормальная реакция основания).

Так как величина E_{i -1} является, как это будет показано далее, известной из расчета предыдущего отсека, то неизвестными силами оказываются лишь S_i ^н и E_i. Для их нахождения достаточно использовать два уравнения статики. Проектируя все силы на нормаль к основанию отсека и на направление самого основания, получим:

S_i ^н = N_i + (E_i sin α _i - E_{i -1}sin α _i); (79)

Q_i = c_il_i + S_i ^нtg φ _i + (E_i cos α _i - E_{i -1}cos α _i). (80)

Подставляя найденное значение S_i ^н в выражение для Q_i и увеличив последнее в K _у^э раз, получим уравнение для определения E_i:

K _у^э Q_i = N_i tg φ _i + c_il_i + [ E_i (cos α _i + tg φ _i sin α _i) - E_{i -1}(cos α _i + tg φ _i sin α _i)]. (81)

Значение Q_i увеличено в K _у^э раз для того, чтобы обеспечить каждому i -му отсеку в стабилизованном массиве заданный коэффициент устойчивости K _у против сдвига по своему основанию. В этом случае и весь блок возможного смещения будет иметь в целом тот же коэффициент устойчивости.

В дальнейшем эту тангенциальную составляющую Q_i внешних активных сил P_i, если она стремится сдвинуть отсек по своему основанию, будем обозначать через Q_{i -сд}. Если та же тангенциальная составляющая Q_i направлена в сторону, обратную направлению возможного смещения блока, то она будет уже силой, удерживающей отсек от возможного смещения, и ее не следует увеличивать в K _у^э раз. Обозначим в этом случае Q_i через Q_{i -уд}.

Предыдущее уравнение можно упростить, помня, что

cos α _i + tg φ _i sin α _i = (cos α _i cos φ _i + sin α _i sin φ _i)/cos φ _i = cos(α _i - φ _i)/cos φ _i. (82)

После сделанных пояснений найдем значение E_i:

(83)

Для отсеков, у которых Q_i = Q_{i -сд}, в формуле (83) следует значения Q_{i -уд} принимать равным нулю; в случаях, когда Q_i = Q_{i -уд}, следует принимать равным нулю Q_{i -сд}. Поскольку в большинстве практических случаев направление падения поверхности скольжения по всей протяженности совпадает с направлением возможного смещения оползневого блока (то есть является монотонным), в дальнейших формулах у нас будут фигурировать лишь Q_i, которые мы будем подразумевать как Q_{i -сд}, а Q_{i -уд} будем принимать равными нулю. Однако в каждом конкретном случае при выполнении расчетов следует помнить о возможности появления сил Q_{i -уд}.

Реакции E_i части блока, находящейся ниже i -го отсека, в общем случае можно определить последовательными расчетами, идя от первого отсека, для которого E_{i -1} равно нулю, к последнему. Последовательное определение сил E_i, особенно целесообразно, когда без расчета невозможно заранее отделить на поперечнике устойчивые части склона от неустойчивых. Первый из отсеков, для которого E_i получилось равным нулю или даже отрицательным, отделяет вышележащую устойчивую часть блока (включая себя) от нижележащей. При недопущении в грунте растягивающих напряжений нижележащая часть должна рассматриваться отдельно. Анализируя последовательно значения E_i, нетрудно установить места возможных разрывов грунта (место перехода от устойчивых к неустойчивым частям блока), места целесообразного расположения удерживающих конструкций (например, места наименьших значений E_i и умеренных значений толщин смещающегося слоя) и т.п.

При принятии Q_{i -уд} = 0 последняя написанная нами формула примет вид:

(84)

Для первого отсека E_{i -1} = 0, следовательно

Для второго отсека

В общем случае оползневое давление равно:

(85)

Очевидно, что у свободного откоса сила E _оп, поддерживающая последний отсек, должна быть равна нулю (так как ничто не поддерживает этот последний отсек). Исходя из этого, можно для свободного откоса получить значение коэффициента устойчивости, приравняв E _оп = 0 (в данном случае, когда речь идет о степени устойчивости склона, а не о величине запаса его укрепления, это будет K _у, а не K _у^э):

(86)

Если поверхность возможного смещения - плоскость с неизменными характеристиками φ и c и разбивки на отсеки делать не требуется, то оползневое давление определяется по формуле

(87)

Таким образом можно определить не только активное давление грунта на удерживающее сооружение (обратное по направлению реакции конструкции) E _а = E _оп, но и пассивное давление (отпор) E _о = E _оп. Так как при отпоре тангенциальная сила Q становится силой, сопротивляющейся сдвигу, то при этом следует принять K _у = 1.

Максимальное значение E _а и минимальное значение E _о могут быть найдены из условия - при отрицательном значении второй производной в первом случае и положительном во втором.

Для частного случая обычного кулоновского давления (призма обрушения у подпорной стенки с горизонтальной поверхностью засыпки) при K _у = 1 указанным способом получим общеизвестную формулу:

E _оп = (1/2)γ H ²tg²(45 ± φ/2) + [ p tg(45 ± φ/2) - c ] H tg(45 ± φ/2), (88)

где p - вертикальная нагрузка на засыпку за стенкой. Здесь верхние знаки относятся к случаю E _оп = E _а, а нижние - к случаю E _оп = E _о.

Таким образом, метод Г.М. Шахунянца является единым как для расчета коэффициентов устойчивости свободных откосов (склонов), так и для определения сил, передаваемых на удерживающие конструкции.

Величина фильтрационной силы j, при наличии гидродинамического давления, и величина сейсмической силы Q _с, при расположении склона в сейсмическом районе, определяются, как и ранее, по формулам

j_i = γ_ωω _i sin β_{ф i} ; Q_ci = μ P_i. (89)

В этом методе также будем полагать приближенно (в запас), что фильтрационная и сейсмическая силы являются силами сдвигающими (т.е. направленными параллельно основанию отсека).

Вспомнив выражения (78) составляющих N_i и Q_i через основную силу P_i, получим окончательные формулы для определения коэффициента устойчивости склона и величины оползневого давления. При отсутствии грунтовых вод

(90-а)

(91-а)

При обычном водонасыщении склона

(90-б)

(91-б)

При воздействии на склон фильтрационного потока

(90-в)

(91-в)

Нередко на практике встречаются случаи воздействия на склон струйчатых потоков грунтовых вод (например, на Южном берегу Крыма или склонах Кавказских гор). В таком случае гидродинамическое давление необходимо учитывать, а взвешивание грунта - не учитывать, так как сплошное насыщение грунтов склона отсутствует. То есть следует применять формулы только с учетом фильтрационного давления:

(90-г)

(91-г)

При выводе формул для определения оползневого давления и коэффициента устойчивости были использованы два уравнения статики. Третье условие статики (уравнение моментов) дает возможность определить точку приложения реакции E _оп удерживающего сооружения (или силы E_i для любого i -го отсека). Это решение является точным при круглоцилиндрической поверхности скольжения и приблизительным в других случаях. Указанный прием описан при рассмотрении метода многоугольников сил Г.М. Шахунянца.

Написанные расчетные формулы могут быть использованы также для схемы, учитывающей, что силы E отклонены от горизонтали на угол η, постоянный для всех отсеков. Поскольку угол η ограничен величинами 0 < η < ψ) (где ψ - угол сдвига), то он может приближенно приниматься равным 0,5ψ. Для этой схемы в расчетных формулах выражение (отвечающее η = 0) заменяется на (где η = const).