Метод Ю.И. Соловьева

В 1962 г. Ю.И. Соловьев предложил при расчете устойчивости откосов, в таком же гипотетическом грунте, какой принимали Герсеванов и Терцаги, воспользоваться принципом возможных перемещений.

Поверхность скольжения при этом должна рассматриваться как поверхность контакта между клином обрушения и подстилающим грунтом, по которой на клин действуют односторонние силы связи и внешние касательные силы сцепления и трения (рис. 3). Коэффициент устойчивости склона по Ю.И. Соловьеву представляет собой отношение работ удерживающих и сдвигающих сил на перемещении, которое для всех отсеков имеет одинаковую горизонтальную составляющую u _о. Это означает, что при скольжении всего клина, он сохраняет сплошность и в нем отсутствуют разрывы, но могут происходить касательные смещения по вертикальным плоскостям, по которым, в соответствии с принятым предположением о свойствах гипотетического грунта, сопротивление сдвигу отсутствует. Возможные перемещения S,которые допускаются связями системы, будут происходить вдоль поверхности скольжения и для любого отсека будут равны:

S = u _о/cos α _i.

Рис. 3. Метод Ю.И. Соловьева:

а - основная схема; б - учет фильтрационного давления

Как известно, принцип возможных перемещений гласит: необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сумма работ всех сил на виртуальных перемещениях системы должна быть равна нулю.

Напишем выражения работ сдвигающих и удерживающих сил на возможных (виртуальных) перемещениях:

работа сдвигающих сил

A _сдв = ∫SdQ = ∫ (u _о/cos α)× P sin α dx;

A _сдв = u _о ∫P tg α dx; (4)

работа удерживающих сил

A _уд = - ∫SdR = - ∫ (u _о/cos α)(P cos α tg φ dx + c (dx /cos α);

A _уд = - u _о ∫ (P tg φ + c /cos² α) dx. (5)

Поскольку в данном случае заранее известно, что система сдвигающих и удерживающих сил в общем случае неуравновешена, то для того, чтобы сумма работ этих сил на виртуальных перемещениях была равна нулю, необходимо сдвигающие силы увеличить в K _у раз, т.е. положить

K _у A _сдв + A _уд = 0. (6)

Безразмерный числовой множитель K _у в этом выражении и есть коэффициент запаса устойчивости. Принимая во внимание полученные выражения для работ удерживающих и сдвигающих сил, найдем

K _у = - A _уд/ A _сдв = (7)

Если применяется метод численного интегрирования с разбивкой призмы обрушения (оползневого блока) на конечное число элементов (отсеков), то работа удерживающих сил на возможных перемещениях для одного отсека будет равна:

A _{уд i} = (u _о/cos α _i)(P_i cos α _i tg φ _i + c_il_i) = u _о(P_i tg φ _i + c_il_i /cos α _i), (8)

а работа сдвигающих сил для одного отсека будет равна:

A _{сдв i} = (u _о/cos α _i)(P_i sin α _i + Q _{с i} ) = u _о(P_i tg α _i + Q _{с i} /cos α _i). (9)

Тогда коэффициент устойчивости склона по данному методу определится как отношение суммы работ удерживающих сил к сумме работ сдвигающих сил на возможных перемещениях:

(10)

и при отсутствии грунтовых вод выразится формулой

(11-а)

При обычном затоплении склона грунтовыми водами коэффициент устойчивости будет иметь следующее значение:

(11-б)

Выведем эту же формулу для случая, когда на склоне проявляется гидродинамическое давление. Причем для примера примем, что наклон фильтрационной силы значительно отличается от наклона поверхности скольжения, в связи с чем требуется раздельно учитывать обе составляющие этой силы.

Вес грунта в каждом выделенном отсеке будем принимать с учетом взвешивания в воде (за минусом веса воды в данном отсеке между поверхностью скольжения и депрессионной кривой), но прибавлять к его нормальной составляющей величину проекции гидродинамического давления на нормаль к поверхности скольжения. Кроме того, к сдвигающим силам добавим проекцию гидродинамического давления на направление поверхности скольжения (см. рис. 3, б). Вес грунта с учетом взвешивания

P _{в i} = γ _ih _{ср. i} a_i - γ_ω h_ia_i;

фильтрационное давление

j_i = γ_ωω _ii_i = γ_ω h_ia_ii_i.

Его проекция на нормаль к поверхности скольжения:

γ_ω h_ia_ii_i sin(β_{ф i} - α _i).

Его проекция на поверхность скольжения:

γ_ω h_ia_ii_i cos(β_{ф i} - α _i).

С учетом этих сил выражения работ для каждого отсека будут:

A _{уд i} = (u _о/cos α _i)[ P _{в i} cos α _i tg φ_{в i} + γ_ω h_ia_ii_i sin(β_{ф i} - α _i)tg φ_{в i} + c _{в i} l_i ] = u _о{[ P _{в i} + γ_ω h_ia_ii_i ]tg φ_{в i} + c _{в i} l_i /cos α _i };

A _{сдв i} = (u _о/cos α _i)[ P _{в i} sin α _i + γ_ω h_ia_ii_i cos(β_{ф i} - α _i) + Q_ci ] = u _о[ P _{в i} sin α _i /cos α _i + γ_ω h_ia_ii_i (cos β_{ф i} cos α _i + sin β_{ф i} sin α _i)/cos α _i + Q _{с i} /cos α _i ] = u _о[ P _{в i} + γ_ω h_ia_ii_i sin β_{ф i} ]tg α _i + u _о(γ_ω h_ia_ii_i cos β_{ф i} + Q _{с i} /cos α _i).

Тогда:

(28-в)

Как видим, выражение для коэффициента устойчивости при учете гидродинамического давления получается сравнительно сложным. Поэтому, где это возможно, проще учитывать гидродинамическое давление, принимая направление его действия параллельным поверхности скольжения (без разложения на составляющие).

Необходимо также помнить, что, как указывалось выше, при разложении фильтрационных сил на направления вертикали и касательной к поверхности скольжения следует учитывать изменение градиента в различных направлениях. Это еще более усложнит расчет.

В 1969 г. М.Н. Гольдштейн [8] показал, что хотя по поверхности скольжения действуют силы трения, т.е. силы, не имеющие потенциала, тем не менее и в этом случае принцип возможных перемещений применим к рассматриваемой задаче. Действительно, в соответствии с формулировкой принципа возможных перемещений, данной Фурье для необратимых перемещений и пригодной также для сил, не имеющих потенциала, можно утверждать, что в состоянии предельного равновесия в равную нулю сумму работ на возможных перемещениях всех сил, действующих на систему, должны быть включены и силы трения, заменяющие действие внутренних связей, существовавших в системе до образования поверхности раздела в виде поверхности скольжения. Эти силы, естественно, должны быть полностью мобилизованы. Важное условие применимости к данной задаче принципа возможных перемещений заключается в том, что при рассмотрении всего клина обрушения не требовалось учитывать работу внутренних сил на относительных перемещениях отдельных его элементов. Но в случае гипотетического грунта Герсеванова и при условии, что отсеки являются жесткими, а их виртуальные перемещения не нарушают имеющихся кинематических связей, указанное условие выполняется. При этом очевидно, что либо поверхность скольжения должна быть круглоцилиндрической, либо пяты отсеков должны иметь форму, позволяющую им скользить по поверхности сдвига, не наклоняясь и не деформируясь (например, в виде дуг, соприкасающихся с поверхностью сдвига в одной точке).

Иногда проектировщики этим методом определяют оползневое давление, представляя его как разность между знаменателем и числителем в написанных формулах коэффициента устойчивости. Однако такое определение оползневого давления нельзя считать правильным, поскольку числитель и знаменатель выражения коэффициента устойчивости в данном случае есть не силы, а работы.

2.3. Метод F_р

Метод F_р (приближенный метод равнопрочного откоса или метод Н.Н. Маслова) более применим для проектирования искусственных откосов, а не для оценки степени устойчивости естественных склонов [13, 15]. Однако мы рассмотрим этот метод, поскольку разработанные в нем оригинальные приемы могут быть использованы при решении различных инженерных задач.

Рис. 4. Метод F_р

Метод F_р основывается на положении, что степень устойчивости откоса или склона определяется минимальной величиной коэффициента K _у из всех его значений по высоте откоса. Вместе с тем для каждого из горизонтов (рис. 4) величина K _у определяется из условия

K _у = tg Ψ_р/tg β. (29)

где β - угол наклона к горизонту откоса в рассматриваемой точке;

Ψ_р - угол сопротивления сдвигу на этом горизонте (или угол сдвига).

Угол сопротивления сдвигу Ψ_р для сыпучих (зернистых) грунтов, лишенных сцепления (c = 0), равен углу внутреннего трения, т.е. Ψ_р = φ. Тогда написанная выше формула приобретает для таких грунтов следующий вид:

K _у = tg φ/tg β. (30)

Так как tg Ψ_р = F_р = tg φ + c /σ _n, то для рассматриваемого случая

tg Ψ_р = F_рz = tg φ + c /γ z. (31)

При наличии за бровкой откоса равномерно распределенной нагрузки p _о последнее выражение приобретает вид:

F_рz = tg φ + c /(γ z + p _о). (32)

Очевидно, что φ и c должны подставляться в приведенные выше формулы применительно к своим значениям для рассматриваемого пласта и степени консолидации грунта. Объемный вес γ определяется здесь своим средним значением для всей толщи, перекрывающей данный горизонт, с учетом в необходимых случаях взвешивания грунта водой.

Равнопрочный откос в состоянии своего предельного равновесия по методу F_р определяется условием, что для каждой точки откоса с глубиной z от свободной поверхности удовлетворяется условие:

β _z = Ψ_{р z} . (33)

Иными словами, на каждом горизонте z угол наклона откоса к горизонту β _z численно равен углу сопротивления сдвигу Ψ_{р z} , характерному для данного горизонта.

Профиль равнопрочного откоса, как правило, имеет криволинейное очертание, более крутое в верхней и более пологое в нижней части.

Построение такого откоса, а равным образом и откоса с наперед заданным значением коэффициента K _у по выражению (29) может быть осуществлено графически и аналитически. В последнем случае используется следующее выражение (проф. Н.Н. Маслов):

x = (1/γtg² φ){tg φ γ z + c ln(tg φ p _о + c) - c ln[tg φ(γ z + p _о) + c ]}, (34-а)

где x - абсцисса точки на поверхности откоса, отвечающая глубине z расчетного горизонта от поверхности толщи.

При отсутствии за бровкой откоса нагрузки (p _о = 0) предыдущее выражение упрощается:

x = (1/γtg² φ)[tg φ×γ z + c ln c - c ln(tg φ×γ z + c)]. (34-б)

Аналитический метод построения равнопрочного откоса является более точным, чем графический. Однако при наличии в толще откоса нескольких пластов с различными механическими характеристиками этот метод становится излишне громоздким и явно уступает графическому приему.

Сущность графического приема по методу F_р базируется на использовании выражения, вытекающего из ранее написанной зависимости (29):

tg β = (1/ K _у)tg Ψ_р. (35)

Откос разделяется по высоте на ряд расчетных слоев с подошвой на глубинах z ₁, z ₂, …, z_n от поверхности толщи. При уменьшении мощности этих слоев точность построения повышается. При наличии в толще откоса пластов различных пород соответствующие расчетным слоям горизонты должны совпадать с контактами этих пластов. Далее для каждого из этих горизонтов с глубиной z_i находят значение угла сопротивления сдвигу Ψ_{р z} по выражению Ψ_{р z} = arctg F_pz через значение коэффициента сопротивления сдвигу

F_pz = tg φ _i + c_i /(γ z + p _о).

После этого определяют соответствующие найденным значениям углов сопротивления сдвигу Ψ_{р z} величины углов откоса β, задавшись тем или иным коэффициентом запаса устойчивости K _у. В равновесном положении K _у = 1. В этом случае имеет место соблюдение равенства β _z = Ψ_{р z} .

Построение откоса начинается с нижней его точки для z_max = H. Здесь откладывается отвечающий данному горизонту угол β z_max. Продолжаем определяющую его линию до пересечения со следующим горизонтом на глубине z_i. В точке пересечения откладываем снова угол β _z, соответствующий этому горизонту. Находим новое пересечение определяющей его линии с очередным менее глубоко расположенным горизонтом и т.д., вплоть до выхода откоса на поверхность. Полученные указанным выше построением точки пересечения расчетных горизонтов с линиями, определяющими углы откосов β _i, соединяем плавной кривой. На этом построение равнопрочного откоса графическим методом заканчивается.

Отметим, что при отсутствии на поверхности толщи за бровкой откоса нагрузки, т.е. при p _о = 0, и при наличии в грунте даже самого незначительного сцепления c угол откоса βна поверхности толщи при z = 0 становится равным 90°. Это положение вытекает из выражения

Ψ_р = arctg F_р = arctg(tg φ + c /γ z) при z = 0 c ≠ 0 = arctg µ = 90°. (36)

Рассмотренный метод дает, как мы видели, возможность построить равнопрочный откос, т.е. откос, на всем протяжении которого по высоте коэффициент устойчивости одинаков. Однако метод F_р не может быть применен для расчета величины оползневого давления.