Предельные теоремы теории веротностей

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Если явление носит единичный характер, теория вероятностей способна обычно предсказать лишь результаты в очень широких пределах. Закономерности проявляются именно при большом числе случайных явлений, происходящих в однородных условиях. При этом характеристики случайных величин, наблюдаемых при испытании, становятся устойчивыми. Например, устойчива частота появления события при большом числе испытаний, то же относится и к средним значениям случайных величин.

Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин и случайных событий при большом числе испытаний над ними, носит название предельных теорем теории вероятностей. К ним относятся Закон больших чисел (группа теорем, включающая, в частности, неравенство Маркова, неравенство и теорему Чебышева, теорему Бернулли) и Центральная предельная теорема Ляпунова.

Неравенство Маркова. Для положительных случайных величин, имеющих математическое ожидание, справедливо неравенство Маркова (): . Неравенство Маркова в первоначальной форме или в форме применяют для оценки вероятности положительных случайных величин с неизвестным законом распределения.

Неравенство Чебышева. Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание и дисперсию . Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютному значению не меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , то есть: или .

Теорема Чебышева. Если (i= 1; 2; 3; …; п) – попарно-независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной С, то для любого :

.

Справедлива также оценка:

.

Следствие. Если в условии теоремы Чебышева случайные величины имеют одинаковые распределения, то есть ; , то

и .

Теорема Бернулли. Пусть т – количество наступлений события А в серии из п независимых испытаний; р – вероятность наступления события А в одном испытании. Тогда для любого :

и .

Центральная предельная теорема Ляпунова. Теорема показывает, что при достаточно большом числе п независимых случайных величин Х ₁, Х ₂, …, Х_п, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых ограничений), их сумма будет иметь закон распределения, как угодно близкий к нормальному закону.

Теорема. Если случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х_п взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией , то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы этих случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

В практических задачах часто применяют центральную предельную теорему для определения вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.

Примеры:

1. При стрельбе по мишени, представляющей собой круг 30 см, средняя величина отклонения от центра мишени равна 6 см. Оцените вероятность поражения мишени при одном выстреле.

Решение. По условию задачи . Применяя неравенство Маркова, получим: .

2. Среднее значение длины спички равно 4 см, а среднее квадратическое отклонение 0,2 см. Оцените вероятность того, что длина наугад взятой спички окажется не менее 3,5 см и не более 4,5 см.

Решение. По условию задачи . Так как длина спички колеблется от среднего значения , то . Воспользуемся неравенством Чебышева , где . Тогда получим:

.

3. Оцените вероятность того, что бросив монету 200 раз относительная частота появления герба при одном испытании по абсолютной величине отклонится не больше чем на 0,1.

Решение. Из условия задачи . Вероятность того, что появится герб при однократном бросании монеты, равна . Тогда .

Воспользуемся теоремой Бернулли , тогда получим: .

4. Для каждой из 2000 независимых с. в. Х Оцените вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется от математического ожидания, а по абсолютной величине не более чем на 0,15.

Решение. Воспользуемся следствием из теоремы Чебышева и данными из условия задачи .

Тогда имеем: .

5. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение.

а) Пусть Х – число отказавших элементов за время Т. Тогда , , .

Воспользуемся неравенством Чебышева:

.

Тогда получим: .

б) события и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

.

6. Норма высева на 1 га равна 150 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения; случайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением 10 кг. Определите: а) вероятность того, что расход семян на 100 га не превысит 15,1 т; б) количество семян, обеспечивающее посев 100 га с вероятностью 0,95.

Решение.

Обозначим через случайный расход семян на i -ом гектаре. По условию кг, кг. Через Х обозначим расход семян на 100 га; этот расход равен сумме расходов каждого гектара: . На основании теоремы Ляпунова случайная величина Х будет распределена нормально. Параметры этого распределения таковы:

; кг т;

, кг т.

Теперь переходим к определению искомых величин:

а) воспользуемся формулой

, (значения функции приведены в табл. А.2), получим:

Таким образом, в заданных условиях вероятность того, что 15,1 т семян окажутся достаточными для засева 100 га, равна 0,841;

б) обозначим через – количество семян, обеспечивающее посев с вероятностью 0,95, тогда справедливы соотношения или . Воспользуемся опять той же формулой , тогда получим:

;

; .

По табл. А.2 находим значение аргумента для полученного значения функции 0,45. Оно равно 1,64, тогда

; т.

В заданных условиях 15,16 т семян обеспечат посев 100 га с вероятностью 0,95.